Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37109 / 30587
↖ ↑ ↗
← N 11.894229°
E 23.845825°		 ← 597.74 m → N 11.894229°
E 23.851319°		 →
↑
597.73 m
↓
↑
597.73 m
↓
N 11.888853°
E 23.845825°		 ← 597.75 m →
357 287 m²		 N 11.888853°
E 23.851319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566246032714844 y=0.466728210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566246032714844 × 216)
    floor (0.566246032714844 × 65536)
    floor (37109.5)     		tx = 37109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466728210449219 × 216)
    floor (0.466728210449219 × 65536)
    floor (30587.5)     		ty = 30587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37109 / 30587 ti = "16/37109/30587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37109/30587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37109 ÷ 216
    37109 ÷ 65536     		x = 0.566238403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30587 ÷ 216
    30587 ÷ 65536     		y = 0.466720581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566238403320312 × 2 - 1) × π
    0.132476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41618816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466720581054688 × 2 - 1) × π
    0.066558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.209100756142685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41618816} λ = 0.41618816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209100756142685))-π/2
    2×atan(1.23256918119036)-π/2
    2×0.889194886832309-π/2
    1.77838977366462-1.57079632675     		φ = 0.20759345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41618816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.845825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20759345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.894229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37109 KachelY 30587 0.41618816 0.20759345 23.845825 11.894229
    Oben rechts KachelX + 1 37110 KachelY 30587 0.41628404 0.20759345 23.851319 11.894229
    Unten links KachelX 37109 KachelY + 1 30588 0.41618816 0.20749963 23.845825 11.888853
    Unten rechts KachelX + 1 37110 KachelY + 1 30588 0.41628404 0.20749963 23.851319 11.888853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20759345-0.20749963) × R
    9.38200000000222e-05 × 6371000     		dl = 597.727220000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20759345-0.20749963) × R
    9.38200000000222e-05 × 6371000     		dr = 597.727220000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41618816-0.41628404) × cos(0.20759345) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.978529751288595 × 6371000     		do = 597.73634679897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41618816-0.41628404) × cos(0.20749963) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.97854908381106 × 6371000     		du = 597.74815609893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20759345)-sin(0.20749963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978529751288595-0.97854908381106)×R²
    abs(0.41628404-0.41618816)×1.93325224652208e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.93325224652208e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.93325224652208e-05×40589641000000     		ar = 357286.814497274m²