Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37108 / 30269
↖ ↑ ↗
← N 13.597939°
E 23.840332°		 ← 593.67 m → N 13.597939°
E 23.845825°		 →
↑
593.71 m
↓
↑
593.71 m
↓
N 13.592600°
E 23.840332°		 ← 593.68 m →
352 472 m²		 N 13.592600°
E 23.845825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566230773925781 y=0.461875915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566230773925781 × 216)
    floor (0.566230773925781 × 65536)
    floor (37108.5)     		tx = 37108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461875915527344 × 216)
    floor (0.461875915527344 × 65536)
    floor (30269.5)     		ty = 30269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37108 / 30269 ti = "16/37108/30269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37108/30269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37108 ÷ 216
    37108 ÷ 65536     		x = 0.56622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30269 ÷ 216
    30269 ÷ 65536     		y = 0.461868286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56622314453125 × 2 - 1) × π
    0.1324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41609229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461868286132812 × 2 - 1) × π
    0.076263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.239588624301041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41609229} λ = 0.41609229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239588624301041))-π/2
    2×atan(1.27072629686562)-π/2
    2×0.904062566955533-π/2
    1.80812513391107-1.57079632675     		φ = 0.23732881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41609229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23732881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.597939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37108 KachelY 30269 0.41609229 0.23732881 23.840332 13.597939
    Oben rechts KachelX + 1 37109 KachelY 30269 0.41618816 0.23732881 23.845825 13.597939
    Unten links KachelX 37108 KachelY + 1 30270 0.41609229 0.23723562 23.840332 13.592600
    Unten rechts KachelX + 1 37109 KachelY + 1 30270 0.41618816 0.23723562 23.845825 13.592600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23732881-0.23723562) × R
    9.3189999999993e-05 × 6371000     		dl = 593.713489999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23732881-0.23723562) × R
    9.3189999999993e-05 × 6371000     		dr = 593.713489999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41609229-0.41618816) × cos(0.23732881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971969457605125 × 6371000     		do = 593.667057518731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41609229-0.41618816) × cos(0.23723562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971991363020225 × 6371000     		du = 593.680437078371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23732881)-sin(0.23723562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971969457605125-0.971991363020225)×R²
    abs(0.41618816-0.41609229)×2.19054151002762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19054151002762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19054151002762e-05×40589641000000     		ar = 352472.112685075m²