Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37108 / 102956
↖ ↑ ↗
← S 71.113214°
W 78.079834°		 ← 98.85 m → S 71.113214°
W 78.077088°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.114103°
W 78.079834°		 ← 98.84 m →
9 773 m²		 S 71.114103°
W 78.077088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283115386962891 y=0.785495758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283115386962891 × 217)
    floor (0.283115386962891 × 131072)
    floor (37108.5)     		tx = 37108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785495758056641 × 217)
    floor (0.785495758056641 × 131072)
    floor (102956.5)     		ty = 102956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37108 / 102956 ti = "17/37108/102956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37108/102956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37108 ÷ 217
    37108 ÷ 131072     		x = 0.283111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102956 ÷ 217
    102956 ÷ 131072     		y = 0.785491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.43377685546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36275018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785491943359375 × 2 - 1) × π
    -0.57098388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7937987837825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36275018} λ = -1.36275018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7937987837825))-π/2
    2×atan(0.166327127239114)-π/2
    2×0.164818296549461-π/2
    0.329636593098921-1.57079632675     		φ = -1.24115973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36275018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.079834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24115973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.113214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37108 KachelY 102956 -1.36275018 -1.24115973 -78.079834 -71.113214
    Oben rechts KachelX + 1 37109 KachelY 102956 -1.36270225 -1.24115973 -78.077088 -71.113214
    Unten links KachelX 37108 KachelY + 1 102957 -1.36275018 -1.24117525 -78.079834 -71.114103
    Unten rechts KachelX + 1 37109 KachelY + 1 102957 -1.36270225 -1.24117525 -78.077088 -71.114103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24115973--1.24117525) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dl = 98.8779200002969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24115973--1.24117525) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dr = 98.8779200002969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36275018--1.36270225) × cos(-1.24115973) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323699212185767 × 6371000     		do = 98.845448542507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36275018--1.36270225) × cos(-1.24117525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323684527742972 × 6371000     		du = 98.8409644712458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24115973)-sin(-1.24117525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323699212185767-0.323684527742972)×R²
    abs(-1.36270225--1.36275018)×1.46844427946768e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46844427946768e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46844427946768e-05×40589641000000     		ar = 9773.41066574977m²