Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37107 / 30350
↖ ↑ ↗
← N 13.165074°
E 23.834839°		 ← 594.80 m → N 13.165074°
E 23.840332°		 →
↑
594.80 m
↓
↑
594.80 m
↓
N 13.159725°
E 23.834839°		 ← 594.81 m →
353 787 m²		 N 13.159725°
E 23.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566215515136719 y=0.463111877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566215515136719 × 216)
    floor (0.566215515136719 × 65536)
    floor (37107.5)     		tx = 37107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463111877441406 × 216)
    floor (0.463111877441406 × 65536)
    floor (30350.5)     		ty = 30350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37107 / 30350 ti = "16/37107/30350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37107/30350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37107 ÷ 216
    37107 ÷ 65536     		x = 0.566207885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30350 ÷ 216
    30350 ÷ 65536     		y = 0.463104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566207885742188 × 2 - 1) × π
    0.132415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41599641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463104248046875 × 2 - 1) × π
    0.07379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.231822846562592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41599641} λ = 0.41599641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.231822846562592))-π/2
    2×atan(1.26089633692129)-π/2
    2×0.900285106074765-π/2
    1.80057021214953-1.57079632675     		φ = 0.22977389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41599641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.834839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22977389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.165074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37107 KachelY 30350 0.41599641 0.22977389 23.834839 13.165074
    Oben rechts KachelX + 1 37108 KachelY 30350 0.41609229 0.22977389 23.840332 13.165074
    Unten links KachelX 37107 KachelY + 1 30351 0.41599641 0.22968053 23.834839 13.159725
    Unten rechts KachelX + 1 37108 KachelY + 1 30351 0.41609229 0.22968053 23.840332 13.159725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22977389-0.22968053) × R
    9.33600000000145e-05 × 6371000     		dl = 594.796560000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22977389-0.22968053) × R
    9.33600000000145e-05 × 6371000     		dr = 594.796560000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41599641-0.41609229) × cos(0.22977389) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.973717918113079 × 6371000     		do = 594.797031381847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41599641-0.41609229) × cos(0.22968053) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.973739177296858 × 6371000     		du = 594.810017585722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22977389)-sin(0.22968053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973717918113079-0.973739177296858)×R²
    abs(0.41609229-0.41599641)×2.12591837791543e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.12591837791543e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.12591837791543e-05×40589641000000     		ar = 353787.09049577m²