Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37107 / 102958
↖ ↑ ↗
← S 71.114993°
W 78.082581°		 ← 98.86 m → S 71.114993°
W 78.079834°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.115881°
W 78.082581°		 ← 98.85 m →
9 768 m²		 S 71.115881°
W 78.079834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283107757568359 y=0.785511016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283107757568359 × 217)
    floor (0.283107757568359 × 131072)
    floor (37107.5)     		tx = 37107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785511016845703 × 217)
    floor (0.785511016845703 × 131072)
    floor (102958.5)     		ty = 102958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37107 / 102958 ti = "17/37107/102958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37107/102958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37107 ÷ 217
    37107 ÷ 131072     		x = 0.283103942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102958 ÷ 217
    102958 ÷ 131072     		y = 0.785507202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283103942871094 × 2 - 1) × π
    -0.433792114257812 × 3.1415926535     		Λ = -1.36279812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785507202148438 × 2 - 1) × π
    -0.571014404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79389465758174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36279812} λ = -1.36279812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79389465758174))-π/2
    2×atan(0.166311181589906)-π/2
    2×0.164802780116763-π/2
    0.329605560233525-1.57079632675     		φ = -1.24119077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36279812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.082581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24119077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.114993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37107 KachelY 102958 -1.36279812 -1.24119077 -78.082581 -71.114993
    Oben rechts KachelX + 1 37108 KachelY 102958 -1.36275018 -1.24119077 -78.079834 -71.114993
    Unten links KachelX 37107 KachelY + 1 102959 -1.36279812 -1.24120628 -78.082581 -71.115881
    Unten rechts KachelX + 1 37108 KachelY + 1 102959 -1.36275018 -1.24120628 -78.079834 -71.115881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24119077--1.24120628) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24119077--1.24120628) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36279812--1.36275018) × cos(-1.24119077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323669843222211 × 6371000     		do = 98.8571013817631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36279812--1.36275018) × cos(-1.24120628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323655168085239 × 6371000     		du = 98.8526192171937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24119077)-sin(-1.24120628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323669843222211-0.323655168085239)×R²
    abs(-1.36275018--1.36279812)×1.46751369721754e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46751369721754e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46751369721754e-05×40589641000000     		ar = 9768.26492551397m²