Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37106 / 38702
↖ ↑ ↗
← S 30.968189°
E 23.829346°		 ← 523.72 m → S 30.968189°
E 23.834839°		 →
↑
523.70 m
↓
↑
523.70 m
↓
S 30.972899°
E 23.829346°		 ← 523.70 m →
274 264 m²		 S 30.972899°
E 23.834839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566200256347656 y=0.590553283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566200256347656 × 216)
    floor (0.566200256347656 × 65536)
    floor (37106.5)     		tx = 37106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590553283691406 × 216)
    floor (0.590553283691406 × 65536)
    floor (38702.5)     		ty = 38702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37106 / 38702 ti = "16/37106/38702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37106/38702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37106 ÷ 216
    37106 ÷ 65536     		x = 0.566192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38702 ÷ 216
    38702 ÷ 65536     		y = 0.590545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566192626953125 × 2 - 1) × π
    0.13238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41590054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.18109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.568915124690826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41590054} λ = 0.41590054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568915124690826))-π/2
    2×atan(0.56613929620391)-π/2
    2×0.515149730099456-π/2
    1.03029946019891-1.57079632675     		φ = -0.54049687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41590054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.829346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54049687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.968189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37106 KachelY 38702 0.41590054 -0.54049687 23.829346 -30.968189
    Oben rechts KachelX + 1 37107 KachelY 38702 0.41599641 -0.54049687 23.834839 -30.968189
    Unten links KachelX 37106 KachelY + 1 38703 0.41590054 -0.54057907 23.829346 -30.972899
    Unten rechts KachelX + 1 37107 KachelY + 1 38703 0.41599641 -0.54057907 23.834839 -30.972899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54049687--0.54057907) × R
    8.22000000000322e-05 × 6371000     		dl = 523.696200000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54049687--0.54057907) × R
    8.22000000000322e-05 × 6371000     		dr = 523.696200000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41590054-0.41599641) × cos(-0.54049687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857453116748692 × 6371000     		do = 523.721877058472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41590054-0.41599641) × cos(-0.54057907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857410816847457 × 6371000     		du = 523.696040796125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54049687)-sin(-0.54057907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857453116748692-0.857410816847457)×R²
    abs(0.41599641-0.41590054)×4.22999012351655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22999012351655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22999012351655e-05×40589641000000     		ar = 274264.391850884m²