Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37105 / 30582
↖ ↑ ↗
← N 11.921103°
E 23.823853°		 ← 597.61 m → N 11.921103°
E 23.829346°		 →
↑
597.66 m
↓
↑
597.66 m
↓
N 11.915728°
E 23.823853°		 ← 597.63 m →
357 176 m²		 N 11.915728°
E 23.829346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566184997558594 y=0.466651916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566184997558594 × 216)
    floor (0.566184997558594 × 65536)
    floor (37105.5)     		tx = 37105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466651916503906 × 216)
    floor (0.466651916503906 × 65536)
    floor (30582.5)     		ty = 30582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37105 / 30582 ti = "16/37105/30582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37105/30582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37105 ÷ 216
    37105 ÷ 65536     		x = 0.566177368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30582 ÷ 216
    30582 ÷ 65536     		y = 0.466644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566177368164062 × 2 - 1) × π
    0.132354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41580467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466644287109375 × 2 - 1) × π
    0.06671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.209580125138885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41580467} λ = 0.41580467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209580125138885))-π/2
    2×atan(1.23316017828302)-π/2
    2×0.889429413650286-π/2
    1.77885882730057-1.57079632675     		φ = 0.20806250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41580467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.823853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20806250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.921103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37105 KachelY 30582 0.41580467 0.20806250 23.823853 11.921103
    Oben rechts KachelX + 1 37106 KachelY 30582 0.41590054 0.20806250 23.829346 11.921103
    Unten links KachelX 37105 KachelY + 1 30583 0.41580467 0.20796869 23.823853 11.915728
    Unten rechts KachelX + 1 37106 KachelY + 1 30583 0.41590054 0.20796869 23.829346 11.915728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20806250-0.20796869) × R
    9.38099999999997e-05 × 6371000     		dl = 597.663509999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20806250-0.20796869) × R
    9.38099999999997e-05 × 6371000     		dr = 597.663509999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41580467-0.41590054) × cos(0.20806250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978432969809798 × 6371000     		do = 597.614891724591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41580467-0.41590054) × cos(0.20796869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978452343327278 × 6371000     		du = 597.626724832129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20806250)-sin(0.20796869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978432969809798-0.978452343327278)×R²
    abs(0.41590054-0.41580467)×1.9373517479937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9373517479937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9373517479937e-05×40589641000000     		ar = 357176.150186576m²