Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37105 / 102959
↖ ↑ ↗
← S 71.115881°
W 78.088074°		 ← 98.83 m → S 71.115881°
W 78.085327°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.116771°
W 78.088074°		 ← 98.83 m →
9 772 m²		 S 71.116771°
W 78.085327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283092498779297 y=0.785518646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283092498779297 × 217)
    floor (0.283092498779297 × 131072)
    floor (37105.5)     		tx = 37105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785518646240234 × 217)
    floor (0.785518646240234 × 131072)
    floor (102959.5)     		ty = 102959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37105 / 102959 ti = "17/37105/102959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37105/102959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37105 ÷ 217
    37105 ÷ 131072     		x = 0.283088684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102959 ÷ 217
    102959 ÷ 131072     		y = 0.785514831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283088684082031 × 2 - 1) × π
    -0.433822631835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.36289399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785514831542969 × 2 - 1) × π
    -0.571029663085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.79394259448136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36289399} λ = -1.36289399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79394259448136))-π/2
    2×atan(0.166303209338572)-π/2
    2×0.164795022428225-π/2
    0.329590044856449-1.57079632675     		φ = -1.24120628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36289399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.088074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24120628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.115881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37105 KachelY 102959 -1.36289399 -1.24120628 -78.088074 -71.115881
    Oben rechts KachelX + 1 37106 KachelY 102959 -1.36284606 -1.24120628 -78.085327 -71.115881
    Unten links KachelX 37105 KachelY + 1 102960 -1.36289399 -1.24122180 -78.088074 -71.116771
    Unten rechts KachelX + 1 37106 KachelY + 1 102960 -1.36284606 -1.24122180 -78.085327 -71.116771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24120628--1.24122180) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dl = 98.8779199988823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24120628--1.24122180) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dr = 98.8779199988823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36289399--1.36284606) × cos(-1.24120628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323655168085239 × 6371000     		do = 98.8319991465603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36289399--1.36284606) × cos(-1.24122180) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323640483408607 × 6371000     		du = 98.8275150038942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24120628)-sin(-1.24122180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323655168085239-0.323640483408607)×R²
    abs(-1.36284606--1.36289399)×1.46846766316822e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46846766316822e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46846766316822e-05×40589641000000     		ar = 9772.08081380659m²