Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37103 / 30353
↖ ↑ ↗
← N 13.149027°
E 23.812866°		 ← 594.77 m → N 13.149027°
E 23.818359°		 →
↑
594.80 m
↓
↑
594.80 m
↓
N 13.143678°
E 23.812866°		 ← 594.79 m →
353 773 m²		 N 13.143678°
E 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566154479980469 y=0.463157653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566154479980469 × 216)
    floor (0.566154479980469 × 65536)
    floor (37103.5)     		tx = 37103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463157653808594 × 216)
    floor (0.463157653808594 × 65536)
    floor (30353.5)     		ty = 30353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37103 / 30353 ti = "16/37103/30353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37103/30353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37103 ÷ 216
    37103 ÷ 65536     		x = 0.566146850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30353 ÷ 216
    30353 ÷ 65536     		y = 0.463150024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566146850585938 × 2 - 1) × π
    0.132293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41561292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463150024414062 × 2 - 1) × π
    0.073699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.231535225164871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41561292} λ = 0.41561292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.231535225164871))-π/2
    2×atan(1.26053372830398)-π/2
    2×0.900145070435478-π/2
    1.80029014087096-1.57079632675     		φ = 0.22949381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41561292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.812866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22949381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.149027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37103 KachelY 30353 0.41561292 0.22949381 23.812866 13.149027
    Oben rechts KachelX + 1 37104 KachelY 30353 0.41570879 0.22949381 23.818359 13.149027
    Unten links KachelX 37103 KachelY + 1 30354 0.41561292 0.22940045 23.812866 13.143678
    Unten rechts KachelX + 1 37104 KachelY + 1 30354 0.41570879 0.22940045 23.818359 13.143678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22949381-0.22940045) × R
    9.33599999999868e-05 × 6371000     		dl = 594.796559999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22949381-0.22940045) × R
    9.33599999999868e-05 × 6371000     		dr = 594.796559999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41561292-0.41570879) × cos(0.22949381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973781670202637 × 6371000     		do = 594.773934809931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41561292-0.41570879) × cos(0.22940045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973802903924267 × 6371000     		du = 594.786904107414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22949381)-sin(0.22940045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973781670202637-0.973802903924267)×R²
    abs(0.41570879-0.41561292)×2.12337216297653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12337216297653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12337216297653e-05×40589641000000     		ar = 353773.347706299m²