Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37102 / 26682
↖ ↑ ↗
← N 31.681433°
E 23.807373°		 ← 519.77 m → N 31.681433°
E 23.812866°		 →
↑
519.81 m
↓
↑
519.81 m
↓
N 31.676758°
E 23.807373°		 ← 519.80 m →
270 188 m²		 N 31.676758°
E 23.812866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566139221191406 y=0.407142639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566139221191406 × 216)
    floor (0.566139221191406 × 65536)
    floor (37102.5)     		tx = 37102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407142639160156 × 216)
    floor (0.407142639160156 × 65536)
    floor (26682.5)     		ty = 26682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37102 / 26682 ti = "16/37102/26682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37102/26682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37102 ÷ 216
    37102 ÷ 65536     		x = 0.566131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26682 ÷ 216
    26682 ÷ 65536     		y = 0.407135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566131591796875 × 2 - 1) × π
    0.13226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41551705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407135009765625 × 2 - 1) × π
    0.18572998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.583487942175324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41551705} λ = 0.41551705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583487942175324))-π/2
    2×atan(1.79227890640188)-π/2
    2×1.0618708232081-π/2
    2.1237416464162-1.57079632675     		φ = 0.55294532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41551705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.807373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55294532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.681433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37102 KachelY 26682 0.41551705 0.55294532 23.807373 31.681433
    Oben rechts KachelX + 1 37103 KachelY 26682 0.41561292 0.55294532 23.812866 31.681433
    Unten links KachelX 37102 KachelY + 1 26683 0.41551705 0.55286373 23.807373 31.676758
    Unten rechts KachelX + 1 37103 KachelY + 1 26683 0.41561292 0.55286373 23.812866 31.676758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55294532-0.55286373) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dl = 519.809889999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55294532-0.55286373) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dr = 519.809889999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41551705-0.41561292) × cos(0.55294532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850981345352165 × 6371000     		do = 519.768998239237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41551705-0.41561292) × cos(0.55286373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851024193254418 × 6371000     		du = 519.795169213904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55294532)-sin(0.55286373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850981345352165-0.851024193254418)×R²
    abs(0.41561292-0.41551705)×4.28479022531736e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28479022531736e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28479022531736e-05×40589641000000     		ar = 270187.867915741m²