Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37102 / 102961
↖ ↑ ↗
← S 71.117659°
W 78.096313°		 ← 98.82 m → S 71.117659°
W 78.093567°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.118548°
W 78.096313°		 ← 98.82 m →
9 765 m²		 S 71.118548°
W 78.093567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283069610595703 y=0.785533905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283069610595703 × 217)
    floor (0.283069610595703 × 131072)
    floor (37102.5)     		tx = 37102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785533905029297 × 217)
    floor (0.785533905029297 × 131072)
    floor (102961.5)     		ty = 102961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37102 / 102961 ti = "17/37102/102961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37102/102961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37102 ÷ 217
    37102 ÷ 131072     		x = 0.283065795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102961 ÷ 217
    102961 ÷ 131072     		y = 0.785530090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283065795898438 × 2 - 1) × π
    -0.433868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36303780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785530090332031 × 2 - 1) × π
    -0.571060180664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.7940384682806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36303780} λ = -1.36303780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7940384682806))-π/2
    2×atan(0.166287265982354)-π/2
    2×0.1647795081067-π/2
    0.3295590162134-1.57079632675     		φ = -1.24123731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36303780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.096313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24123731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.117659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37102 KachelY 102961 -1.36303780 -1.24123731 -78.096313 -71.117659
    Oben rechts KachelX + 1 37103 KachelY 102961 -1.36298987 -1.24123731 -78.093567 -71.117659
    Unten links KachelX 37102 KachelY + 1 102962 -1.36303780 -1.24125282 -78.096313 -71.118548
    Unten rechts KachelX + 1 37103 KachelY + 1 102962 -1.36298987 -1.24125282 -78.093567 -71.118548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24123731--1.24125282) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dl = 98.8142099992695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24123731--1.24125282) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dr = 98.8142099992695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36303780--1.36298987) × cos(-1.24123731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323625808115872 × 6371000     		do = 98.8230337267135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36303780--1.36298987) × cos(-1.24125282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323611132745284 × 6371000     		du = 98.81855242576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24123731)-sin(-1.24125282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323625808115872-0.323611132745284)×R²
    abs(-1.36298987--1.36303780)×1.46753705870806e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46753705870806e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46753705870806e-05×40589641000000     		ar = 9764.89859950137m²