Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37101 / 30285
↖ ↑ ↗
← N 13.512497°
E 23.801880°		 ← 593.94 m → N 13.512497°
E 23.807373°		 →
↑
593.90 m
↓
↑
593.90 m
↓
N 13.507156°
E 23.801880°		 ← 593.96 m →
352 749 m²		 N 13.507156°
E 23.807373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566123962402344 y=0.462120056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566123962402344 × 216)
    floor (0.566123962402344 × 65536)
    floor (37101.5)     		tx = 37101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462120056152344 × 216)
    floor (0.462120056152344 × 65536)
    floor (30285.5)     		ty = 30285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37101 / 30285 ti = "16/37101/30285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37101/30285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37101 ÷ 216
    37101 ÷ 65536     		x = 0.566116333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30285 ÷ 216
    30285 ÷ 65536     		y = 0.462112426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566116333007812 × 2 - 1) × π
    0.132232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41542117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462112426757812 × 2 - 1) × π
    0.075775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.238054643513199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41542117} λ = 0.41542117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.238054643513199))-π/2
    2×atan(1.2687785214466)-π/2
    2×0.903316941547363-π/2
    1.80663388309473-1.57079632675     		φ = 0.23583756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41542117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.801880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23583756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.512497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37101 KachelY 30285 0.41542117 0.23583756 23.801880 13.512497
    Oben rechts KachelX + 1 37102 KachelY 30285 0.41551705 0.23583756 23.807373 13.512497
    Unten links KachelX 37101 KachelY + 1 30286 0.41542117 0.23574434 23.801880 13.507156
    Unten rechts KachelX + 1 37102 KachelY + 1 30286 0.41551705 0.23574434 23.807373 13.507156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23583756-0.23574434) × R
    9.3220000000005e-05 × 6371000     		dl = 593.904620000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23583756-0.23574434) × R
    9.3220000000005e-05 × 6371000     		dr = 593.904620000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41542117-0.41551705) × cos(0.23583756) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.972318980271829 × 6371000     		do = 593.942488131092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41542117-0.41551705) × cos(0.23574434) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.97234075759391 × 6371000     		du = 593.955790840516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23583756)-sin(0.23574434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972318980271829-0.97234075759391)×R²
    abs(0.41551705-0.41542117)×2.17773220810846e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.17773220810846e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.17773220810846e-05×40589641000000     		ar = 352749.138241069m²