Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37101 / 28209
↖ ↑ ↗
← N 24.282020°
E 23.801880°		 ← 556.81 m → N 24.282020°
E 23.807373°		 →
↑
556.76 m
↓
↑
556.76 m
↓
N 24.277012°
E 23.801880°		 ← 556.83 m →
310 017 m²		 N 24.277012°
E 23.807373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566123962402344 y=0.430442810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566123962402344 × 216)
    floor (0.566123962402344 × 65536)
    floor (37101.5)     		tx = 37101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430442810058594 × 216)
    floor (0.430442810058594 × 65536)
    floor (28209.5)     		ty = 28209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37101 / 28209 ti = "16/37101/28209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37101/28209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37101 ÷ 216
    37101 ÷ 65536     		x = 0.566116333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28209 ÷ 216
    28209 ÷ 65536     		y = 0.430435180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566116333007812 × 2 - 1) × π
    0.132232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41542117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430435180664062 × 2 - 1) × π
    0.139129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.437088650735672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41542117} λ = 0.41542117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437088650735672))-π/2
    2×atan(1.54819331944966)-π/2
    2×0.997298760377985-π/2
    1.99459752075597-1.57079632675     		φ = 0.42380119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41542117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.801880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42380119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.282020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37101 KachelY 28209 0.41542117 0.42380119 23.801880 24.282020
    Oben rechts KachelX + 1 37102 KachelY 28209 0.41551705 0.42380119 23.807373 24.282020
    Unten links KachelX 37101 KachelY + 1 28210 0.41542117 0.42371380 23.801880 24.277012
    Unten rechts KachelX + 1 37102 KachelY + 1 28210 0.41551705 0.42371380 23.807373 24.277012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42380119-0.42371380) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dl = 556.761690000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42380119-0.42371380) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dr = 556.761690000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41542117-0.41551705) × cos(0.42380119) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911532372464509 × 6371000     		do = 556.810898787814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41542117-0.41551705) × cos(0.42371380) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911568306226952 × 6371000     		du = 556.832848979784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42380119)-sin(0.42371380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911532372464509-0.911568306226952)×R²
    abs(0.41551705-0.41542117)×3.5933762442486e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.5933762442486e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.5933762442486e-05×40589641000000     		ar = 310017.087729919m²