Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37101 / 27534
↖ ↑ ↗
← N 27.615406°
E 23.801880°		 ← 541.26 m → N 27.615406°
E 23.807373°		 →
↑
541.22 m
↓
↑
541.22 m
↓
N 27.610539°
E 23.801880°		 ← 541.29 m →
292 947 m²		 N 27.610539°
E 23.807373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566123962402344 y=0.420143127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566123962402344 × 216)
    floor (0.566123962402344 × 65536)
    floor (37101.5)     		tx = 37101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420143127441406 × 216)
    floor (0.420143127441406 × 65536)
    floor (27534.5)     		ty = 27534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37101 / 27534 ti = "16/37101/27534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37101/27534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37101 ÷ 216
    37101 ÷ 65536     		x = 0.566116333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27534 ÷ 216
    27534 ÷ 65536     		y = 0.420135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566116333007812 × 2 - 1) × π
    0.132232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41542117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420135498046875 × 2 - 1) × π
    0.15972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.501803465222748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41542117} λ = 0.41542117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501803465222748))-π/2
    2×atan(1.65169736500849)-π/2
    2×1.02638804299553-π/2
    2.05277608599105-1.57079632675     		φ = 0.48197976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41542117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.801880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48197976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.615406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37101 KachelY 27534 0.41542117 0.48197976 23.801880 27.615406
    Oben rechts KachelX + 1 37102 KachelY 27534 0.41551705 0.48197976 23.807373 27.615406
    Unten links KachelX 37101 KachelY + 1 27535 0.41542117 0.48189481 23.801880 27.610539
    Unten rechts KachelX + 1 37102 KachelY + 1 27535 0.41551705 0.48189481 23.807373 27.610539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48197976-0.48189481) × R
    8.49499999999725e-05 × 6371000     		dl = 541.216449999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48197976-0.48189481) × R
    8.49499999999725e-05 × 6371000     		dr = 541.216449999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41542117-0.41551705) × cos(0.48197976) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88607897317051 × 6371000     		do = 541.262652158045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41542117-0.41551705) × cos(0.48189481) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.886118347212604 × 6371000     		du = 541.286703849932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48197976)-sin(0.48189481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88607897317051-0.886118347212604)×R²
    abs(0.41551705-0.41542117)×3.9374042094531e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.9374042094531e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.9374042094531e-05×40589641000000     		ar = 292946.759880372m²