Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3710 / 3711
↖ ↑ ↗
← N 79.937838°
W139.240722°		 ← 213.43 m → N 79.937838°
W139.229737°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
N 79.935918°
W139.240722°		 ← 213.47 m →
45 570 m²		 N 79.935918°
W139.229737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113235473632812 y=0.113265991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113235473632812 × 215)
    floor (0.113235473632812 × 32768)
    floor (3710.5)     		tx = 3710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113265991210938 × 215)
    floor (0.113265991210938 × 32768)
    floor (3711.5)     		ty = 3711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3710 / 3711 ti = "15/3710/3711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3710/3711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3710 ÷ 215
    3710 ÷ 32768     		x = 0.11322021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3711 ÷ 215
    3711 ÷ 32768     		y = 0.113250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11322021484375 × 2 - 1) × π
    -0.7735595703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.43020906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113250732421875 × 2 - 1) × π
    0.77349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43001731553989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43020906} λ = -2.43020906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43001731553989))-π/2
    2×atan(11.35907876688)-π/2
    2×1.48298739771091-π/2
    2.96597479542183-1.57079632675     		φ = 1.39517847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43020906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39517847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.937838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3710 KachelY 3711 -2.43020906 1.39517847 -139.240722 79.937838
    Oben rechts KachelX + 1 3711 KachelY 3711 -2.43001732 1.39517847 -139.229737 79.937838
    Unten links KachelX 3710 KachelY + 1 3712 -2.43020906 1.39514496 -139.240722 79.935918
    Unten rechts KachelX + 1 3711 KachelY + 1 3712 -2.43001732 1.39514496 -139.229737 79.935918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39517847-1.39514496) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39517847-1.39514496) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43020906--2.43001732) × cos(1.39517847) × R
    0.000191739999999996 × 0.174716524305433 × 6371000     		do = 213.429432525327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43020906--2.43001732) × cos(1.39514496) × R
    0.000191739999999996 × 0.174749518782549 × 6371000     		du = 213.469737771528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39517847)-sin(1.39514496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174716524305433-0.174749518782549)×R²
    abs(-2.43001732--2.43020906)×3.29944771166324e-05×R²
    0.000191739999999996×3.29944771166324e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.29944771166324e-05×40589641000000     		ar = 45569.8236609747m²