Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3710 / 2685
↖ ↑ ↗
← N 76.200727°
W 98.481445°		 ← 582.76 m → N 76.200727°
W 98.459473°		 →
↑
582.88 m
↓
↑
582.88 m
↓
N 76.195485°
W 98.481445°		 ← 582.98 m →
339 743 m²		 N 76.195485°
W 98.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226470947265625 y=0.163909912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226470947265625 × 214)
    floor (0.226470947265625 × 16384)
    floor (3710.5)     		tx = 3710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163909912109375 × 214)
    floor (0.163909912109375 × 16384)
    floor (2685.5)     		ty = 2685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3710 / 2685 ti = "14/3710/2685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3710/2685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3710 ÷ 214
    3710 ÷ 16384     		x = 0.2264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2685 ÷ 214
    2685 ÷ 16384     		y = 0.16387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71882547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16387939453125 × 2 - 1) × π
    0.6722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11190804966119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71882547} λ = -1.71882547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11190804966119))-π/2
    2×atan(8.26399436266355)-π/2
    2×1.4503749533358-π/2
    2.9007499066716-1.57079632675     		φ = 1.32995358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71882547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.481445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32995358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.200727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3710 KachelY 2685 -1.71882547 1.32995358 -98.481445 76.200727
    Oben rechts KachelX + 1 3711 KachelY 2685 -1.71844198 1.32995358 -98.459473 76.200727
    Unten links KachelX 3710 KachelY + 1 2686 -1.71882547 1.32986209 -98.481445 76.195485
    Unten rechts KachelX + 1 3711 KachelY + 1 2686 -1.71844198 1.32986209 -98.459473 76.195485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32995358-1.32986209) × R
    9.14899999999719e-05 × 6371000     		dl = 582.882789999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32995358-1.32986209) × R
    9.14899999999719e-05 × 6371000     		dr = 582.882789999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71882547--1.71844198) × cos(1.32995358) × R
    0.000383490000000153 × 0.238521133884474 × 6371000     		do = 582.75836203435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71882547--1.71844198) × cos(1.32986209) × R
    0.000383490000000153 × 0.23860998223829 × 6371000     		du = 582.975437646459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32995358)-sin(1.32986209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238521133884474-0.23860998223829)×R²
    abs(-1.71844198--1.71882547)×8.88483538155904e-05×R²
    0.000383490000000153×8.88483538155904e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.88483538155904e-05×40589641000000     		ar = 339743.085014451m²