Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 371 / 497
↖ ↑ ↗
← N 67.542167°
W114.785156°		 ← 7 466.63 m → N 67.542167°
W114.609375°		 →
↑
7 477.20 m
↓
↑
7 477.20 m
↓
N 67.474922°
W114.785156°		 ← 7 487.82 m →
55 908 694 m²		 N 67.474922°
W114.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181396484375 y=0.242919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181396484375 × 211)
    floor (0.181396484375 × 2048)
    floor (371.5)     		tx = 371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242919921875 × 211)
    floor (0.242919921875 × 2048)
    floor (497.5)     		ty = 497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 371 / 497 ti = "11/371/497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/371/497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 371 ÷ 211
    371 ÷ 2048     		x = 0.18115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 497 ÷ 211
    497 ÷ 2048     		y = 0.24267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.18115234375 × 2 - 1) × π
    -0.6376953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.00337891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24267578125 × 2 - 1) × π
    0.5146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61681575038525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00337891} λ = -2.00337891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61681575038525))-π/2
    2×atan(5.03702560626779)-π/2
    2×1.3748147597102-π/2
    2.7496295194204-1.57079632675     		φ = 1.17883319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00337891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17883319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.542167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 371 KachelY 497 -2.00337891 1.17883319 -114.785156 67.542167
    Oben rechts KachelX + 1 372 KachelY 497 -2.00031095 1.17883319 -114.609375 67.542167
    Unten links KachelX 371 KachelY + 1 498 -2.00337891 1.17765956 -114.785156 67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 372 KachelY + 1 498 -2.00031095 1.17765956 -114.609375 67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17883319-1.17765956) × R
    0.00117363000000004 × 6371000     		dl = 7477.19673000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17883319-1.17765956) × R
    0.00117363000000004 × 6371000     		dr = 7477.19673000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00337891--2.00031095) × cos(1.17883319) × R
    0.00306796000000009 × 0.382003404359244 × 6371000     		do = 7466.62828863463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00337891--2.00031095) × cos(1.17765956) × R
    0.00306796000000009 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 7487.82315305343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17883319)-sin(1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382003404359244-0.383087763999222)×R²
    abs(-2.00031095--2.00337891)×0.00108435963997855×R²
    0.00306796000000009×0.00108435963997855×6371000²
    0.00306796000000009×0.00108435963997855×40589641000000     		ar = 55908694.126799m²