Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37098 / 30286
↖ ↑ ↗
← N 13.507156°
E 23.785400°		 ← 593.89 m → N 13.507156°
E 23.790893°		 →
↑
593.97 m
↓
↑
593.97 m
↓
N 13.501814°
E 23.785400°		 ← 593.91 m →
352 758 m²		 N 13.501814°
E 23.790893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566078186035156 y=0.462135314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566078186035156 × 216)
    floor (0.566078186035156 × 65536)
    floor (37098.5)     		tx = 37098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462135314941406 × 216)
    floor (0.462135314941406 × 65536)
    floor (30286.5)     		ty = 30286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37098 / 30286 ti = "16/37098/30286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37098/30286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37098 ÷ 216
    37098 ÷ 65536     		x = 0.566070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30286 ÷ 216
    30286 ÷ 65536     		y = 0.462127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566070556640625 × 2 - 1) × π
    0.13214111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41513355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    0.07574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.237958769713959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41513355} λ = 0.41513355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237958769713959))-π/2
    2×atan(1.26865688466034)-π/2
    2×0.90327033106796-π/2
    1.80654066213592-1.57079632675     		φ = 0.23574434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41513355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.785400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23574434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.507156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37098 KachelY 30286 0.41513355 0.23574434 23.785400 13.507156
    Oben rechts KachelX + 1 37099 KachelY 30286 0.41522942 0.23574434 23.790893 13.507156
    Unten links KachelX 37098 KachelY + 1 30287 0.41513355 0.23565111 23.785400 13.501814
    Unten rechts KachelX + 1 37099 KachelY + 1 30287 0.41522942 0.23565111 23.790893 13.501814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23574434-0.23565111) × R
    9.32299999999997e-05 × 6371000     		dl = 593.968329999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23574434-0.23565111) × R
    9.32299999999997e-05 × 6371000     		dr = 593.968329999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41513355-0.41522942) × cos(0.23574434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97234075759391 × 6371000     		do = 593.893843010882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41513355-0.41522942) × cos(0.23565111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972362528801143 × 6371000     		du = 593.907140597998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23574434)-sin(0.23565111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97234075759391-0.972362528801143)×R²
    abs(0.41522942-0.41513355)×2.17712072322351e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17712072322351e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17712072322351e-05×40589641000000     		ar = 352758.083558856m²