Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37095 / 27538
↖ ↑ ↗
← N 27.595935°
E 23.768921°		 ← 541.30 m → N 27.595935°
E 23.774414°		 →
↑
541.34 m
↓
↑
541.34 m
↓
N 27.591066°
E 23.768921°		 ← 541.33 m →
293 037 m²		 N 27.591066°
E 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566032409667969 y=0.420204162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566032409667969 × 216)
    floor (0.566032409667969 × 65536)
    floor (37095.5)     		tx = 37095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420204162597656 × 216)
    floor (0.420204162597656 × 65536)
    floor (27538.5)     		ty = 27538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37095 / 27538 ti = "16/37095/27538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37095/27538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37095 ÷ 216
    37095 ÷ 65536     		x = 0.566024780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27538 ÷ 216
    27538 ÷ 65536     		y = 0.420196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566024780273438 × 2 - 1) × π
    0.132049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41484593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420196533203125 × 2 - 1) × π
    0.15960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.501419970025787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41484593} λ = 0.41484593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501419970025787))-π/2
    2×atan(1.65106406844303)-π/2
    2×1.02621812438137-π/2
    2.05243624876273-1.57079632675     		φ = 0.48163992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41484593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.768921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48163992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.595935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37095 KachelY 27538 0.41484593 0.48163992 23.768921 27.595935
    Oben rechts KachelX + 1 37096 KachelY 27538 0.41494180 0.48163992 23.774414 27.595935
    Unten links KachelX 37095 KachelY + 1 27539 0.41484593 0.48155495 23.768921 27.591066
    Unten rechts KachelX + 1 37096 KachelY + 1 27539 0.41494180 0.48155495 23.774414 27.591066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48163992-0.48155495) × R
    8.49700000000175e-05 × 6371000     		dl = 541.343870000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48163992-0.48155495) × R
    8.49700000000175e-05 × 6371000     		dr = 541.343870000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41484593-0.41494180) × cos(0.48163992) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.886236449499027 × 6371000     		do = 541.30238468253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41484593-0.41494180) × cos(0.48155495) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.886275807220862 × 6371000     		du = 541.326423897682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48163992)-sin(0.48155495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886236449499027-0.886275807220862)×R²
    abs(0.41494180-0.41484593)×3.93577218347207e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.93577218347207e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.93577218347207e-05×40589641000000     		ar = 293037.234681604m²