Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37095 / 27426
↖ ↑ ↗
← N 28.139816°
E 23.768921°		 ← 538.59 m → N 28.139816°
E 23.774414°		 →
↑
538.60 m
↓
↑
538.60 m
↓
N 28.134972°
E 23.768921°		 ← 538.62 m →
290 095 m²		 N 28.134972°
E 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566032409667969 y=0.418495178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566032409667969 × 216)
    floor (0.566032409667969 × 65536)
    floor (37095.5)     		tx = 37095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418495178222656 × 216)
    floor (0.418495178222656 × 65536)
    floor (27426.5)     		ty = 27426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37095 / 27426 ti = "16/37095/27426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37095/27426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37095 ÷ 216
    37095 ÷ 65536     		x = 0.566024780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27426 ÷ 216
    27426 ÷ 65536     		y = 0.418487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566024780273438 × 2 - 1) × π
    0.132049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41484593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418487548828125 × 2 - 1) × π
    0.16302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.51215783554068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41484593} λ = 0.41484593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51215783554068))-π/2
    2×atan(1.66888849927165)-π/2
    2×1.03096438268232-π/2
    2.06192876536465-1.57079632675     		φ = 0.49113244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41484593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.768921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49113244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.139816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37095 KachelY 27426 0.41484593 0.49113244 23.768921 28.139816
    Oben rechts KachelX + 1 37096 KachelY 27426 0.41494180 0.49113244 23.774414 28.139816
    Unten links KachelX 37095 KachelY + 1 27427 0.41484593 0.49104790 23.768921 28.134972
    Unten rechts KachelX + 1 37096 KachelY + 1 27427 0.41494180 0.49104790 23.774414 28.134972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49113244-0.49104790) × R
    8.45400000000218e-05 × 6371000     		dl = 538.604340000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49113244-0.49104790) × R
    8.45400000000218e-05 × 6371000     		dr = 538.604340000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41484593-0.41494180) × cos(0.49113244) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.881799337382485 × 6371000     		do = 538.592250867626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41484593-0.41494180) × cos(0.49104790) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.881839205389819 × 6371000     		du = 538.61660175892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49113244)-sin(0.49104790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881799337382485-0.881839205389819)×R²
    abs(0.41494180-0.41484593)×3.98680073337987e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.98680073337987e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.98680073337987e-05×40589641000000     		ar = 290094.681728472m²