Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37093 / 30323
↖ ↑ ↗
← N 13.309449°
E 23.757934°		 ← 594.44 m → N 13.309449°
E 23.763428°		 →
↑
594.41 m
↓
↑
594.41 m
↓
N 13.304103°
E 23.757934°		 ← 594.46 m →
353 350 m²		 N 13.304103°
E 23.763428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566001892089844 y=0.462699890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566001892089844 × 216)
    floor (0.566001892089844 × 65536)
    floor (37093.5)     		tx = 37093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462699890136719 × 216)
    floor (0.462699890136719 × 65536)
    floor (30323.5)     		ty = 30323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37093 / 30323 ti = "16/37093/30323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37093/30323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37093 ÷ 216
    37093 ÷ 65536     		x = 0.565994262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30323 ÷ 216
    30323 ÷ 65536     		y = 0.462692260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565994262695312 × 2 - 1) × π
    0.131988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41465418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462692260742188 × 2 - 1) × π
    0.074615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.234411439142075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41465418} λ = 0.41465418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.234411439142075))-π/2
    2×atan(1.26416451198445)-π/2
    2×0.901545012792194-π/2
    1.80309002558439-1.57079632675     		φ = 0.23229370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41465418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.757934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23229370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.309449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37093 KachelY 30323 0.41465418 0.23229370 23.757934 13.309449
    Oben rechts KachelX + 1 37094 KachelY 30323 0.41475006 0.23229370 23.763428 13.309449
    Unten links KachelX 37093 KachelY + 1 30324 0.41465418 0.23220040 23.757934 13.304103
    Unten rechts KachelX + 1 37094 KachelY + 1 30324 0.41475006 0.23220040 23.763428 13.304103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23229370-0.23220040) × R
    9.32999999999906e-05 × 6371000     		dl = 594.41429999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23229370-0.23220040) × R
    9.32999999999906e-05 × 6371000     		dr = 594.41429999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41465418-0.41475006) × cos(0.23229370) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.973140922160766 × 6371000     		do = 594.444572550423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41465418-0.41475006) × cos(0.23220040) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.973162396538764 × 6371000     		du = 594.457690206005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23229370)-sin(0.23220040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973140922160766-0.973162396538764)×R²
    abs(0.41475006-0.41465418)×2.1474377997821e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.1474377997821e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.1474377997821e-05×40589641000000     		ar = 353350.25339867m²