Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37093 / 27435
↖ ↑ ↗
← N 28.096212°
E 23.757934°		 ← 538.87 m → N 28.096212°
E 23.763428°		 →
↑
538.86 m
↓
↑
538.86 m
↓
N 28.091366°
E 23.757934°		 ← 538.89 m →
290 380 m²		 N 28.091366°
E 23.763428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566001892089844 y=0.418632507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566001892089844 × 216)
    floor (0.566001892089844 × 65536)
    floor (37093.5)     		tx = 37093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418632507324219 × 216)
    floor (0.418632507324219 × 65536)
    floor (27435.5)     		ty = 27435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37093 / 27435 ti = "16/37093/27435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37093/27435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37093 ÷ 216
    37093 ÷ 65536     		x = 0.565994262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27435 ÷ 216
    27435 ÷ 65536     		y = 0.418624877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565994262695312 × 2 - 1) × π
    0.131988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41465418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418624877929688 × 2 - 1) × π
    0.162750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.511294971347519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41465418} λ = 0.41465418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511294971347519))-π/2
    2×atan(1.66744909623723)-π/2
    2×1.0305838687624-π/2
    2.0611677375248-1.57079632675     		φ = 0.49037141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41465418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.757934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49037141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.096212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37093 KachelY 27435 0.41465418 0.49037141 23.757934 28.096212
    Oben rechts KachelX + 1 37094 KachelY 27435 0.41475006 0.49037141 23.763428 28.096212
    Unten links KachelX 37093 KachelY + 1 27436 0.41465418 0.49028683 23.757934 28.091366
    Unten rechts KachelX + 1 37094 KachelY + 1 27436 0.41475006 0.49028683 23.763428 28.091366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49037141-0.49028683) × R
    8.45800000000008e-05 × 6371000     		dl = 538.859180000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49037141-0.49028683) × R
    8.45800000000008e-05 × 6371000     		dr = 538.859180000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41465418-0.41475006) × cos(0.49037141) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.882158002596141 × 6371000     		do = 538.867521479655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41465418-0.41475006) × cos(0.49028683) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.882197832693067 × 6371000     		du = 538.891851753311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49037141)-sin(0.49028683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882158002596141-0.882197832693067)×R²
    abs(0.41475006-0.41465418)×3.98300969262078e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.98300969262078e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.98300969262078e-05×40589641000000     		ar = 290380.266221949m²