Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37092 / 27425
↖ ↑ ↗
← N 28.144660°
E 23.752442°		 ← 538.57 m → N 28.144660°
E 23.757934°		 →
↑
538.60 m
↓
↑
538.60 m
↓
N 28.139816°
E 23.752442°		 ← 538.59 m →
290 082 m²		 N 28.139816°
E 23.757934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565986633300781 y=0.418479919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565986633300781 × 216)
    floor (0.565986633300781 × 65536)
    floor (37092.5)     		tx = 37092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418479919433594 × 216)
    floor (0.418479919433594 × 65536)
    floor (27425.5)     		ty = 27425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37092 / 27425 ti = "16/37092/27425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37092/27425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37092 ÷ 216
    37092 ÷ 65536     		x = 0.56597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27425 ÷ 216
    27425 ÷ 65536     		y = 0.418472290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56597900390625 × 2 - 1) × π
    0.1319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41455831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418472290039062 × 2 - 1) × π
    0.163055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.51225370933992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41455831} λ = 0.41455831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51225370933992))-π/2
    2×atan(1.66904850962287)-π/2
    2×1.03100665245297-π/2
    2.06201330490595-1.57079632675     		φ = 0.49121698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41455831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.752442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49121698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.144660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37092 KachelY 27425 0.41455831 0.49121698 23.752442 28.144660
    Oben rechts KachelX + 1 37093 KachelY 27425 0.41465418 0.49121698 23.757934 28.144660
    Unten links KachelX 37092 KachelY + 1 27426 0.41455831 0.49113244 23.752442 28.139816
    Unten rechts KachelX + 1 37093 KachelY + 1 27426 0.41465418 0.49113244 23.757934 28.139816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49121698-0.49113244) × R
    8.45400000000218e-05 × 6371000     		dl = 538.604340000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49121698-0.49113244) × R
    8.45400000000218e-05 × 6371000     		dr = 538.604340000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41455831-0.41465418) × cos(0.49121698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881759463072922 × 6371000     		do = 538.567896126695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41455831-0.41465418) × cos(0.49113244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881799337382485 × 6371000     		du = 538.592250867314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49121698)-sin(0.49113244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881759463072922-0.881799337382485)×R²
    abs(0.41465418-0.41455831)×3.98743095637588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98743095637588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98743095637588e-05×40589641000000     		ar = 290081.56519581m²