Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37091 / 44961
↖ ↑ ↗
← S 55.481966°
E 23.746948°		 ← 346.15 m → S 55.481966°
E 23.752442°		 →
↑
346.07 m
↓
↑
346.07 m
↓
S 55.485079°
E 23.746948°		 ← 346.12 m →
119 788 m²		 S 55.485079°
E 23.752442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565971374511719 y=0.686058044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565971374511719 × 216)
    floor (0.565971374511719 × 65536)
    floor (37091.5)     		tx = 37091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686058044433594 × 216)
    floor (0.686058044433594 × 65536)
    floor (44961.5)     		ty = 44961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37091 / 44961 ti = "16/37091/44961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37091/44961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37091 ÷ 216
    37091 ÷ 65536     		x = 0.565963745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44961 ÷ 216
    44961 ÷ 65536     		y = 0.686050415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565963745117188 × 2 - 1) × π
    0.131927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41446243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686050415039062 × 2 - 1) × π
    -0.372100830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16898923413469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41446243} λ = 0.41446243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16898923413469))-π/2
    2×atan(0.310680808171693)-π/2
    2×0.301226669058912-π/2
    0.602453338117824-1.57079632675     		φ = -0.96834299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41446243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.746948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96834299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.481966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37091 KachelY 44961 0.41446243 -0.96834299 23.746948 -55.481966
    Oben rechts KachelX + 1 37092 KachelY 44961 0.41455831 -0.96834299 23.752442 -55.481966
    Unten links KachelX 37091 KachelY + 1 44962 0.41446243 -0.96839731 23.746948 -55.485079
    Unten rechts KachelX + 1 37092 KachelY + 1 44962 0.41455831 -0.96839731 23.752442 -55.485079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96834299--0.96839731) × R
    5.43199999999411e-05 × 6371000     		dl = 346.072719999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96834299--0.96839731) × R
    5.43199999999411e-05 × 6371000     		dr = 346.072719999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41446243-0.41455831) × cos(-0.96834299) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566665598344491 × 6371000     		do = 346.148519413791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41446243-0.41455831) × cos(-0.96839731) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566620840659959 × 6371000     		du = 346.121179115953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96834299)-sin(-0.96839731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566665598344491-0.566620840659959)×R²
    abs(0.41455831-0.41446243)×4.47576845322706e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47576845322706e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47576845322706e-05×40589641000000     		ar = 119787.828801329m²