Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37091 / 102947
↖ ↑ ↗
← S 71.105211°
W 78.126526°		 ← 98.91 m → S 71.105211°
W 78.123779°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.106100°
W 78.126526°		 ← 98.90 m →
9 779 m²		 S 71.106100°
W 78.123779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282985687255859 y=0.785427093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282985687255859 × 217)
    floor (0.282985687255859 × 131072)
    floor (37091.5)     		tx = 37091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785427093505859 × 217)
    floor (0.785427093505859 × 131072)
    floor (102947.5)     		ty = 102947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37091 / 102947 ti = "17/37091/102947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37091/102947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37091 ÷ 217
    37091 ÷ 131072     		x = 0.282981872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102947 ÷ 217
    102947 ÷ 131072     		y = 0.785423278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282981872558594 × 2 - 1) × π
    -0.434036254882812 × 3.1415926535     		Λ = -1.36356511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785423278808594 × 2 - 1) × π
    -0.570846557617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.79336735168592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36356511} λ = -1.36356511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79336735168592))-π/2
    2×atan(0.166398901582101)-π/2
    2×0.164888137917153-π/2
    0.329776275834306-1.57079632675     		φ = -1.24102005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36356511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.126526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24102005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.105211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37091 KachelY 102947 -1.36356511 -1.24102005 -78.126526 -71.105211
    Oben rechts KachelX + 1 37092 KachelY 102947 -1.36351717 -1.24102005 -78.123779 -71.105211
    Unten links KachelX 37091 KachelY + 1 102948 -1.36356511 -1.24103557 -78.126526 -71.106100
    Unten rechts KachelX + 1 37092 KachelY + 1 102948 -1.36351717 -1.24103557 -78.123779 -71.106100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24102005--1.24103557) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dl = 98.8779200002969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24102005--1.24103557) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dr = 98.8779200002969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36356511--1.36351717) × cos(-1.24102005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323831368661864 × 6371000     		do = 98.9064354086977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36356511--1.36351717) × cos(-1.24103557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323816684920922 × 6371000     		du = 98.9019506162547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24102005)-sin(-1.24103557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323831368661864-0.323816684920922)×R²
    abs(-1.36351717--1.36356511)×1.46837409413236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46837409413236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46837409413236e-05×40589641000000     		ar = 9779.44088461425m²