Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3709 / 4220
↖ ↑ ↗
← N 78.912384°
W139.251709°		 ← 234.93 m → N 78.912384°
W139.240722°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
N 78.910271°
W139.251709°		 ← 234.98 m →
55 206 m²		 N 78.910271°
W139.240722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113204956054688 y=0.128799438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113204956054688 × 215)
    floor (0.113204956054688 × 32768)
    floor (3709.5)     		tx = 3709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128799438476562 × 215)
    floor (0.128799438476562 × 32768)
    floor (4220.5)     		ty = 4220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3709 / 4220 ti = "15/3709/4220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3709/4220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3709 ÷ 215
    3709 ÷ 32768     		x = 0.113189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4220 ÷ 215
    4220 ÷ 32768     		y = 0.1287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113189697265625 × 2 - 1) × π
    -0.77362060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.43040081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1287841796875 × 2 - 1) × π
    0.742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33241778791345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43040081} λ = -2.43040081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33241778791345))-π/2
    2×atan(10.3028214809558)-π/2
    2×1.47403862135958-π/2
    2.94807724271916-1.57079632675     		φ = 1.37728092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43040081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.251709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37728092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.912384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3709 KachelY 4220 -2.43040081 1.37728092 -139.251709 78.912384
    Oben rechts KachelX + 1 3710 KachelY 4220 -2.43020906 1.37728092 -139.240722 78.912384
    Unten links KachelX 3709 KachelY + 1 4221 -2.43040081 1.37724404 -139.251709 78.910271
    Unten rechts KachelX + 1 3710 KachelY + 1 4221 -2.43020906 1.37724404 -139.240722 78.910271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37728092-1.37724404) × R
    3.68800000001279e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37728092-1.37724404) × R
    3.68800000001279e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43040081--2.43020906) × cos(1.37728092) × R
    0.000191749999999935 × 0.192309865261007 × 6371000     		do = 234.933279564979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43040081--2.43020906) × cos(1.37724404) × R
    0.000191749999999935 × 0.192346056737459 × 6371000     		du = 234.977492493127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37728092)-sin(1.37724404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192309865261007-0.192346056737459)×R²
    abs(-2.43020906--2.43040081)×3.61914764516191e-05×R²
    0.000191749999999935×3.61914764516191e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.61914764516191e-05×40589641000000     		ar = 55205.7001975232m²