Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3709 / 2093
↖ ↑ ↗
← N 65.712558°
W 17.006836°		 ← 2 009.89 m → N 65.712558°
W 16.962891°		 →
↑
2 010.62 m
↓
↑
2 010.62 m
↓
N 65.694476°
W 17.006836°		 ← 2 011.29 m →
4 042 538 m²		 N 65.694476°
W 16.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45281982421875 y=0.25555419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45281982421875 × 213)
    floor (0.45281982421875 × 8192)
    floor (3709.5)     		tx = 3709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25555419921875 × 213)
    floor (0.25555419921875 × 8192)
    floor (2093.5)     		ty = 2093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3709 / 2093 ti = "13/3709/2093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3709/2093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3709 ÷ 213
    3709 ÷ 8192     		x = 0.4527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2093 ÷ 213
    2093 ÷ 8192     		y = 0.2554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29682528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2554931640625 × 2 - 1) × π
    0.489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.53628175902356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29682528} λ = -0.29682528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53628175902356))-π/2
    2×atan(4.64727840509397)-π/2
    2×1.35884840719492-π/2
    2.71769681438984-1.57079632675     		φ = 1.14690049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29682528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.006836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14690049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.712558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3709 KachelY 2093 -0.29682528 1.14690049 -17.006836 65.712558
    Oben rechts KachelX + 1 3710 KachelY 2093 -0.29605829 1.14690049 -16.962891 65.712558
    Unten links KachelX 3709 KachelY + 1 2094 -0.29682528 1.14658490 -17.006836 65.694476
    Unten rechts KachelX + 1 3710 KachelY + 1 2094 -0.29605829 1.14658490 -16.962891 65.694476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14690049-1.14658490) × R
    0.000315590000000032 × 6371000     		dl = 2010.62389000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14690049-1.14658490) × R
    0.000315590000000032 × 6371000     		dr = 2010.62389000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29682528--0.29605829) × cos(1.14690049) × R
    0.000766990000000023 × 0.411314595154621 × 6371000     		do = 2009.88600930218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29682528--0.29605829) × cos(1.14658490) × R
    0.000766990000000023 × 0.411602232883906 × 6371000     		du = 2011.29154913628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14690049)-sin(1.14658490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411314595154621-0.411602232883906)×R²
    abs(-0.29605829--0.29682528)×0.000287637729284973×R²
    0.000766990000000023×0.000287637729284973×6371000²
    0.000766990000000023×0.000287637729284973×40589641000000     		ar = 4042537.86601506m²