Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37089 / 45026
↖ ↑ ↗
← S 55.683779°
E 23.735962°		 ← 344.34 m → S 55.683779°
E 23.741455°		 →
↑
344.29 m
↓
↑
344.29 m
↓
S 55.686875°
E 23.735962°		 ← 344.31 m →
118 547 m²		 S 55.686875°
E 23.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565940856933594 y=0.687049865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565940856933594 × 216)
    floor (0.565940856933594 × 65536)
    floor (37089.5)     		tx = 37089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687049865722656 × 216)
    floor (0.687049865722656 × 65536)
    floor (45026.5)     		ty = 45026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37089 / 45026 ti = "16/37089/45026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37089/45026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37089 ÷ 216
    37089 ÷ 65536     		x = 0.565933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45026 ÷ 216
    45026 ÷ 65536     		y = 0.687042236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565933227539062 × 2 - 1) × π
    0.131866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41427069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687042236328125 × 2 - 1) × π
    -0.37408447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1752210310853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41427069} λ = 0.41427069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1752210310853))-π/2
    2×atan(0.308750728636859)-π/2
    2×0.299465525557153-π/2
    0.598931051114305-1.57079632675     		φ = -0.97186528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41427069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.735962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97186528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.683779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37089 KachelY 45026 0.41427069 -0.97186528 23.735962 -55.683779
    Oben rechts KachelX + 1 37090 KachelY 45026 0.41436656 -0.97186528 23.741455 -55.683779
    Unten links KachelX 37089 KachelY + 1 45027 0.41427069 -0.97191932 23.735962 -55.686875
    Unten rechts KachelX + 1 37090 KachelY + 1 45027 0.41436656 -0.97191932 23.741455 -55.686875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97186528--0.97191932) × R
    5.40399999999774e-05 × 6371000     		dl = 344.288839999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97186528--0.97191932) × R
    5.40399999999774e-05 × 6371000     		dr = 344.288839999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41427069-0.41436656) × cos(-0.97186528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563759905814786 × 6371000     		do = 344.337655688016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41427069-0.41436656) × cos(-0.97191932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563715271263219 × 6371000     		du = 344.310393449799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97186528)-sin(-0.97191932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563759905814786-0.563715271263219)×R²
    abs(0.41436656-0.41427069)×4.46345515675572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46345515675572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46345515675572e-05×40589641000000     		ar = 118546.91903155m²