Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37089 / 30302
↖ ↑ ↗
← N 13.421681°
E 23.735962°		 ← 594.11 m → N 13.421681°
E 23.741455°		 →
↑
594.16 m
↓
↑
594.16 m
↓
N 13.416337°
E 23.735962°		 ← 594.12 m →
352 998 m²		 N 13.416337°
E 23.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565940856933594 y=0.462379455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565940856933594 × 216)
    floor (0.565940856933594 × 65536)
    floor (37089.5)     		tx = 37089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462379455566406 × 216)
    floor (0.462379455566406 × 65536)
    floor (30302.5)     		ty = 30302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37089 / 30302 ti = "16/37089/30302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37089/30302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37089 ÷ 216
    37089 ÷ 65536     		x = 0.565933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30302 ÷ 216
    30302 ÷ 65536     		y = 0.462371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565933227539062 × 2 - 1) × π
    0.131866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41427069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    0.07525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.236424788926117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41427069} λ = 0.41427069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236424788926117))-π/2
    2×atan(1.26671228124636)-π/2
    2×0.902524421706205-π/2
    1.80504884341241-1.57079632675     		φ = 0.23425252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41427069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.735962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23425252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.421681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37089 KachelY 30302 0.41427069 0.23425252 23.735962 13.421681
    Oben rechts KachelX + 1 37090 KachelY 30302 0.41436656 0.23425252 23.741455 13.421681
    Unten links KachelX 37089 KachelY + 1 30303 0.41427069 0.23415926 23.735962 13.416337
    Unten rechts KachelX + 1 37090 KachelY + 1 30303 0.41436656 0.23415926 23.741455 13.416337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23425252-0.23415926) × R
    9.32599999999839e-05 × 6371000     		dl = 594.159459999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23425252-0.23415926) × R
    9.32599999999839e-05 × 6371000     		dr = 594.159459999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41427069-0.41436656) × cos(0.23425252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972688115106565 × 6371000     		do = 594.106004731429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41427069-0.41436656) × cos(0.23415926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9727097580134 × 6371000     		du = 594.119223954231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23425252)-sin(0.23415926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972688115106565-0.9727097580134)×R²
    abs(0.41436656-0.41427069)×2.16429068352619e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16429068352619e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16429068352619e-05×40589641000000     		ar = 352997.63037289m²