Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37089 / 28769
↖ ↑ ↗
← N 70.523982°
W 78.132019°		 ← 101.81 m → N 70.523982°
W 78.129273°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 70.523066°
W 78.132019°		 ← 101.82 m →
10 366 m²		 N 70.523066°
W 78.129273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282970428466797 y=0.219493865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282970428466797 × 217)
    floor (0.282970428466797 × 131072)
    floor (37089.5)     		tx = 37089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219493865966797 × 217)
    floor (0.219493865966797 × 131072)
    floor (28769.5)     		ty = 28769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37089 / 28769 ti = "17/37089/28769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37089/28769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37089 ÷ 217
    37089 ÷ 131072     		x = 0.282966613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28769 ÷ 217
    28769 ÷ 131072     		y = 0.219490051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282966613769531 × 2 - 1) × π
    -0.434066772460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.36366098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219490051269531 × 2 - 1) × π
    0.561019897460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.7624959883306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36366098} λ = -1.36366098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7624959883306))-π/2
    2×atan(5.82696329100428)-π/2
    2×1.40083600282559-π/2
    2.80167200565119-1.57079632675     		φ = 1.23087568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36366098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.132019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23087568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.523982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37089 KachelY 28769 -1.36366098 1.23087568 -78.132019 70.523982
    Oben rechts KachelX + 1 37090 KachelY 28769 -1.36361305 1.23087568 -78.129273 70.523982
    Unten links KachelX 37089 KachelY + 1 28770 -1.36366098 1.23085970 -78.132019 70.523066
    Unten rechts KachelX + 1 37090 KachelY + 1 28770 -1.36361305 1.23085970 -78.129273 70.523066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23087568-1.23085970) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dl = 101.808580000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23087568-1.23085970) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dr = 101.808580000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36366098--1.36361305) × cos(1.23087568) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.333412280486584 × 6371000     		do = 101.811450795903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36366098--1.36361305) × cos(1.23085970) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.333427346086405 × 6371000     		du = 101.816051258048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23087568)-sin(1.23085970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333412280486584-0.333427346086405)×R²
    abs(-1.36361305--1.36366098)×1.50655998201188e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.50655998201188e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.50655998201188e-05×40589641000000     		ar = 10365.5134169349m²