Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37089 / 102943
↖ ↑ ↗
← S 71.101653°
W 78.132019°		 ← 98.90 m → S 71.101653°
W 78.129273°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
S 71.102543°
W 78.132019°		 ← 98.90 m →
9 785 m²		 S 71.102543°
W 78.129273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282970428466797 y=0.785396575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282970428466797 × 217)
    floor (0.282970428466797 × 131072)
    floor (37089.5)     		tx = 37089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785396575927734 × 217)
    floor (0.785396575927734 × 131072)
    floor (102943.5)     		ty = 102943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37089 / 102943 ti = "17/37089/102943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37089/102943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37089 ÷ 217
    37089 ÷ 131072     		x = 0.282966613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102943 ÷ 217
    102943 ÷ 131072     		y = 0.785392761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282966613769531 × 2 - 1) × π
    -0.434066772460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.36366098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785392761230469 × 2 - 1) × π
    -0.570785522460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.79317560408744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36366098} λ = -1.36366098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79317560408744))-π/2
    2×atan(0.166430811231071)-π/2
    2×0.164919187677037-π/2
    0.329838375354075-1.57079632675     		φ = -1.24095795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36366098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.132019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24095795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.101653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37089 KachelY 102943 -1.36366098 -1.24095795 -78.132019 -71.101653
    Oben rechts KachelX + 1 37090 KachelY 102943 -1.36361305 -1.24095795 -78.129273 -71.101653
    Unten links KachelX 37089 KachelY + 1 102944 -1.36366098 -1.24097348 -78.132019 -71.102543
    Unten rechts KachelX + 1 37090 KachelY + 1 102944 -1.36361305 -1.24097348 -78.129273 -71.102543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24095795--1.24097348) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24095795--1.24097348) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36366098--1.36361305) × cos(-1.24095795) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.323890121767474 × 6371000     		do = 98.9037450794653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36366098--1.36361305) × cos(-1.24097348) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.323875428877662 × 6371000     		du = 98.899258428806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24095795)-sin(-1.24097348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323890121767474-0.323875428877662)×R²
    abs(-1.36361305--1.36366098)×1.4692889811263e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.4692889811263e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.4692889811263e-05×40589641000000     		ar = 9785.47579329084m²