Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37088 / 45023
↖ ↑ ↗
← S 55.674487°
E 23.730469°		 ← 344.46 m → S 55.674487°
E 23.735962°		 →
↑
344.42 m
↓
↑
344.42 m
↓
S 55.677585°
E 23.730469°		 ← 344.43 m →
118 631 m²		 S 55.677585°
E 23.735962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565925598144531 y=0.687004089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565925598144531 × 216)
    floor (0.565925598144531 × 65536)
    floor (37088.5)     		tx = 37088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687004089355469 × 216)
    floor (0.687004089355469 × 65536)
    floor (45023.5)     		ty = 45023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37088 / 45023 ti = "16/37088/45023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37088/45023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37088 ÷ 216
    37088 ÷ 65536     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45023 ÷ 216
    45023 ÷ 65536     		y = 0.686996459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686996459960938 × 2 - 1) × π
    -0.373992919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17493340968758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17493340968758))-π/2
    2×atan(0.308839544725068)-π/2
    2×0.299546609894076-π/2
    0.599093219788152-1.57079632675     		φ = -0.97170311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97170311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.674487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37088 KachelY 45023 0.41417481 -0.97170311 23.730469 -55.674487
    Oben rechts KachelX + 1 37089 KachelY 45023 0.41427069 -0.97170311 23.735962 -55.674487
    Unten links KachelX 37088 KachelY + 1 45024 0.41417481 -0.97175717 23.730469 -55.677585
    Unten rechts KachelX + 1 37089 KachelY + 1 45024 0.41427069 -0.97175717 23.735962 -55.677585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97170311--0.97175717) × R
    5.40599999999669e-05 × 6371000     		dl = 344.416259999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97170311--0.97175717) × R
    5.40599999999669e-05 × 6371000     		dr = 344.416259999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41427069) × cos(-0.97170311) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.563893840883171 × 6371000     		do = 344.455387266343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41427069) × cos(-0.97175717) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.563849194755044 × 6371000     		du = 344.4281151129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97170311)-sin(-0.97175717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563893840883171-0.563849194755044)×R²
    abs(0.41427069-0.41417481)×4.46461281274901e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46461281274901e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46461281274901e-05×40589641000000     		ar = 118631.339761235m²