Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37088 / 30627
↖ ↑ ↗
← N 11.679135°
E 23.730469°		 ← 598.20 m → N 11.679135°
E 23.735962°		 →
↑
598.17 m
↓
↑
598.17 m
↓
N 11.673756°
E 23.730469°		 ← 598.22 m →
357 834 m²		 N 11.673756°
E 23.735962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565925598144531 y=0.467338562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565925598144531 × 216)
    floor (0.565925598144531 × 65536)
    floor (37088.5)     		tx = 37088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467338562011719 × 216)
    floor (0.467338562011719 × 65536)
    floor (30627.5)     		ty = 30627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37088 / 30627 ti = "16/37088/30627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37088/30627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37088 ÷ 216
    37088 ÷ 65536     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30627 ÷ 216
    30627 ÷ 65536     		y = 0.467330932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467330932617188 × 2 - 1) × π
    0.065338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.20526580417308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.20526580417308))-π/2
    2×atan(1.22785138961531)-π/2
    2×0.887317842223761-π/2
    1.77463568444752-1.57079632675     		φ = 0.20383936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20383936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.679135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37088 KachelY 30627 0.41417481 0.20383936 23.730469 11.679135
    Oben rechts KachelX + 1 37089 KachelY 30627 0.41427069 0.20383936 23.735962 11.679135
    Unten links KachelX 37088 KachelY + 1 30628 0.41417481 0.20374547 23.730469 11.673756
    Unten rechts KachelX + 1 37089 KachelY + 1 30628 0.41427069 0.20374547 23.735962 11.673756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20383936-0.20374547) × R
    9.38899999999854e-05 × 6371000     		dl = 598.173189999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20383936-0.20374547) × R
    9.38899999999854e-05 × 6371000     		dr = 598.173189999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41427069) × cos(0.20383936) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.97929659321572 × 6371000     		do = 598.204773324734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41427069) × cos(0.20374547) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.97931559511636 × 6371000     		du = 598.216380663864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20383936)-sin(0.20374547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97929659321572-0.97931559511636)×R²
    abs(0.41427069-0.41417481)×1.90019006408582e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.90019006408582e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.90019006408582e-05×40589641000000     		ar = 357833.529395234m²