Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37087 / 28767
↖ ↑ ↗
← N 70.525813°
W 78.137512°		 ← 101.82 m → N 70.525813°
W 78.134766°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 70.524897°
W 78.137512°		 ← 101.83 m →
10 367 m²		 N 70.524897°
W 78.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282955169677734 y=0.219478607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282955169677734 × 217)
    floor (0.282955169677734 × 131072)
    floor (37087.5)     		tx = 37087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219478607177734 × 217)
    floor (0.219478607177734 × 131072)
    floor (28767.5)     		ty = 28767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37087 / 28767 ti = "17/37087/28767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37087/28767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37087 ÷ 217
    37087 ÷ 131072     		x = 0.282951354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28767 ÷ 217
    28767 ÷ 131072     		y = 0.219474792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282951354980469 × 2 - 1) × π
    -0.434097290039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.36375686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219474792480469 × 2 - 1) × π
    0.561050415039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.76259186212984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36375686} λ = -1.36375686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76259186212984))-π/2
    2×atan(5.82752197089398)-π/2
    2×1.40085198485436-π/2
    2.80170396970872-1.57079632675     		φ = 1.23090764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36375686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.137512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23090764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.525813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37087 KachelY 28767 -1.36375686 1.23090764 -78.137512 70.525813
    Oben rechts KachelX + 1 37088 KachelY 28767 -1.36370892 1.23090764 -78.134766 70.525813
    Unten links KachelX 37087 KachelY + 1 28768 -1.36375686 1.23089166 -78.137512 70.524897
    Unten rechts KachelX + 1 37088 KachelY + 1 28768 -1.36370892 1.23089166 -78.134766 70.524897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23090764-1.23089166) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dl = 101.808580000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23090764-1.23089166) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dr = 101.808580000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36375686--1.36370892) × cos(1.23090764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333382149031527 × 6371000     		do = 101.823489570678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36375686--1.36370892) × cos(1.23089166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333397214801624 × 6371000     		du = 101.828091044658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23090764)-sin(1.23089166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333382149031527-0.333397214801624)×R²
    abs(-1.36370892--1.36375686)×1.50657700968004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50657700968004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50657700968004e-05×40589641000000     		ar = 10366.739118803m²