Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37084 / 102988
↖ ↑ ↗
← S 71.141644°
W 78.145752°		 ← 98.72 m → S 71.141644°
W 78.143005°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 71.142532°
W 78.145752°		 ← 98.72 m →
9 749 m²		 S 71.142532°
W 78.143005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282932281494141 y=0.785739898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282932281494141 × 217)
    floor (0.282932281494141 × 131072)
    floor (37084.5)     		tx = 37084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785739898681641 × 217)
    floor (0.785739898681641 × 131072)
    floor (102988.5)     		ty = 102988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37084 / 102988 ti = "17/37084/102988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37084/102988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37084 ÷ 217
    37084 ÷ 131072     		x = 0.282928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102988 ÷ 217
    102988 ÷ 131072     		y = 0.785736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.43414306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36390067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.57147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79533276457034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36390067} λ = -1.36390067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79533276457034))-π/2
    2×atan(0.166072180213345)-π/2
    2×0.164570202460424-π/2
    0.329140404920847-1.57079632675     		φ = -1.24165592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36390067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.145752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24165592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.141644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37084 KachelY 102988 -1.36390067 -1.24165592 -78.145752 -71.141644
    Oben rechts KachelX + 1 37085 KachelY 102988 -1.36385273 -1.24165592 -78.143005 -71.141644
    Unten links KachelX 37084 KachelY + 1 102989 -1.36390067 -1.24167142 -78.145752 -71.142532
    Unten rechts KachelX + 1 37085 KachelY + 1 102989 -1.36385273 -1.24167142 -78.143005 -71.142532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24165592--1.24167142) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dl = 98.7505000010713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24165592--1.24167142) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dr = 98.7505000010713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36390067--1.36385273) × cos(-1.24165592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323229697207011 × 6371000     		do = 98.7226694593627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36390067--1.36385273) × cos(-1.24167142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323215029199827 × 6371000     		du = 98.718189472414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24165592)-sin(-1.24167142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323229697207011-0.323215029199827)×R²
    abs(-1.36385273--1.36390067)×1.46680071845817e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46680071845817e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46680071845817e-05×40589641000000     		ar = 9748.69177020828m²