Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37084 / 102987
↖ ↑ ↗
← S 71.140756°
W 78.145752°		 ← 98.73 m → S 71.140756°
W 78.143005°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
S 71.141644°
W 78.145752°		 ← 98.72 m →
9 743 m²		 S 71.141644°
W 78.143005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282932281494141 y=0.785732269287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282932281494141 × 217)
    floor (0.282932281494141 × 131072)
    floor (37084.5)     		tx = 37084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785732269287109 × 217)
    floor (0.785732269287109 × 131072)
    floor (102987.5)     		ty = 102987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37084 / 102987 ti = "17/37084/102987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37084/102987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37084 ÷ 217
    37084 ÷ 131072     		x = 0.282928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102987 ÷ 217
    102987 ÷ 131072     		y = 0.785728454589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.43414306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36390067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785728454589844 × 2 - 1) × π
    -0.571456909179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.79528482767072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36390067} λ = -1.36390067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79528482767072))-π/2
    2×atan(0.166080141389593)-π/2
    2×0.164577949950881-π/2
    0.329155899901763-1.57079632675     		φ = -1.24164043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36390067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.145752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24164043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.140756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37084 KachelY 102987 -1.36390067 -1.24164043 -78.145752 -71.140756
    Oben rechts KachelX + 1 37085 KachelY 102987 -1.36385273 -1.24164043 -78.143005 -71.140756
    Unten links KachelX 37084 KachelY + 1 102988 -1.36390067 -1.24165592 -78.145752 -71.141644
    Unten rechts KachelX + 1 37085 KachelY + 1 102988 -1.36385273 -1.24165592 -78.143005 -71.141644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24164043--1.24165592) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24164043--1.24165592) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36390067--1.36385273) × cos(-1.24164043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323244355673385 × 6371000     		do = 98.727146532302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36390067--1.36385273) × cos(-1.24165592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323229697207011 × 6371000     		du = 98.7226694593627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24164043)-sin(-1.24165592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323244355673385-0.323229697207011)×R²
    abs(-1.36385273--1.36390067)×1.46584663732185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46584663732185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46584663732185e-05×40589641000000     		ar = 9742.84426344685m²