Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37084 / 102946
↖ ↑ ↗
← S 71.104322°
W 78.145752°		 ← 98.91 m → S 71.104322°
W 78.143005°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.105211°
W 78.145752°		 ← 98.91 m →
9 780 m²		 S 71.105211°
W 78.143005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282932281494141 y=0.785419464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282932281494141 × 217)
    floor (0.282932281494141 × 131072)
    floor (37084.5)     		tx = 37084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785419464111328 × 217)
    floor (0.785419464111328 × 131072)
    floor (102946.5)     		ty = 102946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37084 / 102946 ti = "17/37084/102946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37084/102946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37084 ÷ 217
    37084 ÷ 131072     		x = 0.282928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102946 ÷ 217
    102946 ÷ 131072     		y = 0.785415649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.43414306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36390067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785415649414062 × 2 - 1) × π
    -0.570831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7933194147863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36390067} λ = -1.36390067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7933194147863))-π/2
    2×atan(0.166406878420734)-π/2
    2×0.164895899829052-π/2
    0.329791799658105-1.57079632675     		φ = -1.24100453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36390067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.145752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24100453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.104322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37084 KachelY 102946 -1.36390067 -1.24100453 -78.145752 -71.104322
    Oben rechts KachelX + 1 37085 KachelY 102946 -1.36385273 -1.24100453 -78.143005 -71.104322
    Unten links KachelX 37084 KachelY + 1 102947 -1.36390067 -1.24102005 -78.145752 -71.105211
    Unten rechts KachelX + 1 37085 KachelY + 1 102947 -1.36385273 -1.24102005 -78.143005 -71.105211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24100453--1.24102005) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dl = 98.8779199988823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24100453--1.24102005) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dr = 98.8779199988823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36390067--1.36385273) × cos(-1.24100453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323846052324804 × 6371000     		do = 98.910920177317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36390067--1.36385273) × cos(-1.24102005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323831368661864 × 6371000     		du = 98.9064354086977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24100453)-sin(-1.24102005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323846052324804-0.323831368661864)×R²
    abs(-1.36385273--1.36390067)×1.46836629397185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46836629397185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46836629397185e-05×40589641000000     		ar = 9779.8843301401m²