Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37081 / 45211
↖ ↑ ↗
← S 56.252506°
E 23.692017°		 ← 339.31 m → S 56.252506°
E 23.697510°		 →
↑
339.32 m
↓
↑
339.32 m
↓
S 56.255557°
E 23.692017°		 ← 339.29 m →
115 131 m²		 S 56.255557°
E 23.697510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565818786621094 y=0.689872741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565818786621094 × 216)
    floor (0.565818786621094 × 65536)
    floor (37081.5)     		tx = 37081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689872741699219 × 216)
    floor (0.689872741699219 × 65536)
    floor (45211.5)     		ty = 45211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37081 / 45211 ti = "16/37081/45211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37081/45211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37081 ÷ 216
    37081 ÷ 65536     		x = 0.565811157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45211 ÷ 216
    45211 ÷ 65536     		y = 0.689865112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565811157226562 × 2 - 1) × π
    0.131622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41350370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689865112304688 × 2 - 1) × π
    -0.379730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19295768394472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41350370} λ = 0.41350370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19295768394472))-π/2
    2×atan(0.303322803055157)-π/2
    2×0.294502442876153-π/2
    0.589004885752305-1.57079632675     		φ = -0.98179144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41350370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.692017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98179144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.252506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37081 KachelY 45211 0.41350370 -0.98179144 23.692017 -56.252506
    Oben rechts KachelX + 1 37082 KachelY 45211 0.41359957 -0.98179144 23.697510 -56.252506
    Unten links KachelX 37081 KachelY + 1 45212 0.41350370 -0.98184470 23.692017 -56.255557
    Unten rechts KachelX + 1 37082 KachelY + 1 45212 0.41359957 -0.98184470 23.697510 -56.255557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98179144--0.98184470) × R
    5.32600000000549e-05 × 6371000     		dl = 339.31946000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98179144--0.98184470) × R
    5.32600000000549e-05 × 6371000     		dr = 339.31946000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41350370-0.41359957) × cos(-0.98179144) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.555533867538514 × 6371000     		do = 339.313292113513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41350370-0.41359957) × cos(-0.98184470) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.555489581384978 × 6371000     		du = 339.286242672553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98179144)-sin(-0.98184470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555533867538514-0.555489581384978)×R²
    abs(0.41359957-0.41350370)×4.42861535357997e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.42861535357997e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.42861535357997e-05×40589641000000     		ar = 115131.013877212m²