Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3708 / 5357
↖ ↑ ↗
← S 48.370847°
W 17.050781°		 ← 3 246.13 m → S 48.370847°
W 17.006836°		 →
↑
3 245.26 m
↓
↑
3 245.26 m
↓
S 48.400033°
W 17.050781°		 ← 3 244.27 m →
10 531 516 m²		 S 48.400033°
W 17.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45269775390625 y=0.65399169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45269775390625 × 213)
    floor (0.45269775390625 × 8192)
    floor (3708.5)     		tx = 3708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65399169921875 × 213)
    floor (0.65399169921875 × 8192)
    floor (5357.5)     		ty = 5357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3708 / 5357 ti = "13/3708/5357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3708/5357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3708 ÷ 213
    3708 ÷ 8192     		x = 0.45263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5357 ÷ 213
    5357 ÷ 8192     		y = 0.6539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45263671875 × 2 - 1) × π
    -0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967174886734253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29759227} λ = -0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967174886734253))-π/2
    2×atan(0.380155504829849)-π/2
    2×0.363282886212966-π/2
    0.726565772425932-1.57079632675     		φ = -0.84423055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84423055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.370847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3708 KachelY 5357 -0.29759227 -0.84423055 -17.050781 -48.370847
    Oben rechts KachelX + 1 3709 KachelY 5357 -0.29682528 -0.84423055 -17.006836 -48.370847
    Unten links KachelX 3708 KachelY + 1 5358 -0.29759227 -0.84473993 -17.050781 -48.400033
    Unten rechts KachelX + 1 3709 KachelY + 1 5358 -0.29682528 -0.84473993 -17.006836 -48.400033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84423055--0.84473993) × R
    0.000509380000000004 × 6371000     		dl = 3245.25998000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84423055--0.84473993) × R
    0.000509380000000004 × 6371000     		dr = 3245.25998000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29759227--0.29682528) × cos(-0.84423055) × R
    0.000766989999999967 × 0.664306612320225 × 6371000     		do = 3246.12980360527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29759227--0.29682528) × cos(-0.84473993) × R
    0.000766989999999967 × 0.663925784885643 × 6371000     		du = 3244.26889290154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84423055)-sin(-0.84473993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664306612320225-0.663925784885643)×R²
    abs(-0.29682528--0.29759227)×0.000380827434581676×R²
    0.000766989999999967×0.000380827434581676×6371000²
    0.000766989999999967×0.000380827434581676×40589641000000     		ar = 10531515.7997256m²