Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37077 / 30512
↖ ↑ ↗
← N 12.297068°
E 23.670044°		 ← 596.77 m → N 12.297068°
E 23.675537°		 →
↑
596.77 m
↓
↑
596.77 m
↓
N 12.291701°
E 23.670044°		 ← 596.79 m →
356 141 m²		 N 12.291701°
E 23.675537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565757751464844 y=0.465583801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565757751464844 × 216)
    floor (0.565757751464844 × 65536)
    floor (37077.5)     		tx = 37077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465583801269531 × 216)
    floor (0.465583801269531 × 65536)
    floor (30512.5)     		ty = 30512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37077 / 30512 ti = "16/37077/30512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37077/30512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37077 ÷ 216
    37077 ÷ 65536     		x = 0.565750122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30512 ÷ 216
    30512 ÷ 65536     		y = 0.465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565750122070312 × 2 - 1) × π
    0.131500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41312020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    0.06884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.216291291085693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41312020} λ = 0.41312020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216291291085693))-π/2
    2×atan(1.2414639537193)-π/2
    2×0.892710328420877-π/2
    1.78542065684175-1.57079632675     		φ = 0.21462433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41312020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.670044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21462433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.297068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37077 KachelY 30512 0.41312020 0.21462433 23.670044 12.297068
    Oben rechts KachelX + 1 37078 KachelY 30512 0.41321607 0.21462433 23.675537 12.297068
    Unten links KachelX 37077 KachelY + 1 30513 0.41312020 0.21453066 23.670044 12.291701
    Unten rechts KachelX + 1 37078 KachelY + 1 30513 0.41321607 0.21453066 23.675537 12.291701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21462433-0.21453066) × R
    9.36699999999902e-05 × 6371000     		dl = 596.771569999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21462433-0.21453066) × R
    9.36699999999902e-05 × 6371000     		dr = 596.771569999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41312020-0.41321607) × cos(0.21462433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97705647349403 × 6371000     		do = 596.77414460947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41312020-0.41321607) × cos(0.21453066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977076419080989 × 6371000     		du = 596.78632713005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21462433)-sin(0.21453066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97705647349403-0.977076419080989)×R²
    abs(0.41321607-0.41312020)×1.99455869589471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99455869589471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99455869589471e-05×40589641000000     		ar = 356141.478565359m²