Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37077 / 27437
↖ ↑ ↗
← N 28.086520°
E 23.670044°		 ← 538.86 m → N 28.086520°
E 23.675537°		 →
↑
538.86 m
↓
↑
538.86 m
↓
N 28.081674°
E 23.670044°		 ← 538.88 m →
290 376 m²		 N 28.081674°
E 23.675537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565757751464844 y=0.418663024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565757751464844 × 216)
    floor (0.565757751464844 × 65536)
    floor (37077.5)     		tx = 37077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418663024902344 × 216)
    floor (0.418663024902344 × 65536)
    floor (27437.5)     		ty = 27437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37077 / 27437 ti = "16/37077/27437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37077/27437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37077 ÷ 216
    37077 ÷ 65536     		x = 0.565750122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27437 ÷ 216
    27437 ÷ 65536     		y = 0.418655395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565750122070312 × 2 - 1) × π
    0.131500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41312020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418655395507812 × 2 - 1) × π
    0.162689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.511103223749039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41312020} λ = 0.41312020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511103223749039))-π/2
    2×atan(1.66712939752915)-π/2
    2×1.0304992891047-π/2
    2.06099857820941-1.57079632675     		φ = 0.49020225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41312020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.670044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49020225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.086520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37077 KachelY 27437 0.41312020 0.49020225 23.670044 28.086520
    Oben rechts KachelX + 1 37078 KachelY 27437 0.41321607 0.49020225 23.675537 28.086520
    Unten links KachelX 37077 KachelY + 1 27438 0.41312020 0.49011767 23.670044 28.081674
    Unten rechts KachelX + 1 37078 KachelY + 1 27438 0.41321607 0.49011767 23.675537 28.081674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49020225-0.49011767) × R
    8.45800000000008e-05 × 6371000     		dl = 538.859180000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49020225-0.49011767) × R
    8.45800000000008e-05 × 6371000     		dr = 538.859180000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41312020-0.41321607) × cos(0.49020225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882237656478947 × 6371000     		do = 538.859970810791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41312020-0.41321607) × cos(0.49011767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882277473953497 × 6371000     		du = 538.884290837278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49020225)-sin(0.49011767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882237656478947-0.882277473953497)×R²
    abs(0.41321607-0.41312020)×3.98174745493973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98174745493973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98174745493973e-05×40589641000000     		ar = 290376.194713632m²