Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37075 / 27447
↖ ↑ ↗
← N 28.038047°
E 23.659057°		 ← 539.16 m → N 28.038047°
E 23.664551°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
N 28.033198°
E 23.659057°		 ← 539.18 m →
290 709 m²		 N 28.033198°
E 23.664551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565727233886719 y=0.418815612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565727233886719 × 216)
    floor (0.565727233886719 × 65536)
    floor (37075.5)     		tx = 37075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418815612792969 × 216)
    floor (0.418815612792969 × 65536)
    floor (27447.5)     		ty = 27447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37075 / 27447 ti = "16/37075/27447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37075/27447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37075 ÷ 216
    37075 ÷ 65536     		x = 0.565719604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27447 ÷ 216
    27447 ÷ 65536     		y = 0.418807983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565719604492188 × 2 - 1) × π
    0.131439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41292845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418807983398438 × 2 - 1) × π
    0.162384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.510144485756638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41292845} λ = 0.41292845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510144485756638))-π/2
    2×atan(1.66553182318747)-π/2
    2×1.03007627631352-π/2
    2.06015255262704-1.57079632675     		φ = 0.48935623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41292845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.659057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48935623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.038047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37075 KachelY 27447 0.41292845 0.48935623 23.659057 28.038047
    Oben rechts KachelX + 1 37076 KachelY 27447 0.41302433 0.48935623 23.664551 28.038047
    Unten links KachelX 37075 KachelY + 1 27448 0.41292845 0.48927160 23.659057 28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 37076 KachelY + 1 27448 0.41302433 0.48927160 23.664551 28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48935623-0.48927160) × R
    8.463000000003e-05 × 6371000     		dl = 539.177730000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48935623-0.48927160) × R
    8.463000000003e-05 × 6371000     		dr = 539.177730000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41292845-0.41302433) × cos(0.48935623) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.882635650580296 × 6371000     		do = 539.159293457695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41292845-0.41302433) × cos(0.48927160) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 539.183591802991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48935623)-sin(0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882635650580296-0.882675428408608)×R²
    abs(0.41302433-0.41292845)×3.97778283116601e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.97778283116601e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.97778283116601e-05×40589641000000     		ar = 290709.234692012m²