Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37074 / 39135
↖ ↑ ↗
← S 32.985628°
E 23.653564°		 ← 512.33 m → S 32.985628°
E 23.659057°		 →
↑
512.36 m
↓
↑
512.36 m
↓
S 32.990235°
E 23.653564°		 ← 512.31 m →
262 490 m²		 S 32.990235°
E 23.659057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565711975097656 y=0.597160339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565711975097656 × 216)
    floor (0.565711975097656 × 65536)
    floor (37074.5)     		tx = 37074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597160339355469 × 216)
    floor (0.597160339355469 × 65536)
    floor (39135.5)     		ty = 39135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37074 / 39135 ti = "16/37074/39135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37074/39135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37074 ÷ 216
    37074 ÷ 65536     		x = 0.565704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39135 ÷ 216
    39135 ÷ 65536     		y = 0.597152709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565704345703125 × 2 - 1) × π
    0.13140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41283258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597152709960938 × 2 - 1) × π
    -0.194305419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.610428479761795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41283258} λ = 0.41283258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610428479761795))-π/2
    2×atan(0.54311810409465)-π/2
    2×0.497544256407675-π/2
    0.995088512815351-1.57079632675     		φ = -0.57570781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41283258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.653564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57570781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.985628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37074 KachelY 39135 0.41283258 -0.57570781 23.653564 -32.985628
    Oben rechts KachelX + 1 37075 KachelY 39135 0.41292845 -0.57570781 23.659057 -32.985628
    Unten links KachelX 37074 KachelY + 1 39136 0.41283258 -0.57578823 23.653564 -32.990235
    Unten rechts KachelX + 1 37075 KachelY + 1 39136 0.41292845 -0.57578823 23.659057 -32.990235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57570781--0.57578823) × R
    8.041999999997e-05 × 6371000     		dl = 512.355819999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57570781--0.57578823) × R
    8.041999999997e-05 × 6371000     		dr = 512.355819999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41283258-0.41292845) × cos(-0.57570781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838807160534038 × 6371000     		do = 512.333155042606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41283258-0.41292845) × cos(-0.57578823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838763374870166 × 6371000     		du = 512.306411294612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57570781)-sin(-0.57578823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838807160534038-0.838763374870166)×R²
    abs(0.41292845-0.41283258)×4.37856638724199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37856638724199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37856638724199e-05×40589641000000     		ar = 262490.022748957m²