Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37074 / 27841
↖ ↑ ↗
← N 26.111053°
E 23.653564°		 ← 548.45 m → N 26.111053°
E 23.659057°		 →
↑
548.48 m
↓
↑
548.48 m
↓
N 26.106121°
E 23.653564°		 ← 548.48 m →
300 821 m²		 N 26.106121°
E 23.659057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565711975097656 y=0.424827575683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565711975097656 × 216)
    floor (0.565711975097656 × 65536)
    floor (37074.5)     		tx = 37074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424827575683594 × 216)
    floor (0.424827575683594 × 65536)
    floor (27841.5)     		ty = 27841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37074 / 27841 ti = "16/37074/27841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37074/27841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37074 ÷ 216
    37074 ÷ 65536     		x = 0.565704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27841 ÷ 216
    27841 ÷ 65536     		y = 0.424819946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565704345703125 × 2 - 1) × π
    0.13140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41283258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424819946289062 × 2 - 1) × π
    0.150360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.472370208856033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41283258} λ = 0.41283258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472370208856033))-π/2
    2×atan(1.60379101147234)-π/2
    2×1.01326009061194-π/2
    2.02652018122388-1.57079632675     		φ = 0.45572385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41283258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.653564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45572385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.111053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37074 KachelY 27841 0.41283258 0.45572385 23.653564 26.111053
    Oben rechts KachelX + 1 37075 KachelY 27841 0.41292845 0.45572385 23.659057 26.111053
    Unten links KachelX 37074 KachelY + 1 27842 0.41283258 0.45563776 23.653564 26.106121
    Unten rechts KachelX + 1 37075 KachelY + 1 27842 0.41292845 0.45563776 23.659057 26.106121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45572385-0.45563776) × R
    8.60899999999831e-05 × 6371000     		dl = 548.479389999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45572385-0.45563776) × R
    8.60899999999831e-05 × 6371000     		dr = 548.479389999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41283258-0.41292845) × cos(0.45572385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897942688084607 × 6371000     		do = 548.45241204299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41283258-0.41292845) × cos(0.45563776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897980574033949 × 6371000     		du = 548.475552317503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45572385)-sin(0.45563776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897942688084607-0.897980574033949)×R²
    abs(0.41292845-0.41283258)×3.78859493421757e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78859493421757e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78859493421757e-05×40589641000000     		ar = 300821.190568965m²