Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37073 / 45262
↖ ↑ ↗
← S 56.407823°
E 23.648072°		 ← 337.94 m → S 56.407823°
E 23.653564°		 →
↑
337.92 m
↓
↑
337.92 m
↓
S 56.410862°
E 23.648072°		 ← 337.91 m →
114 190 m²		 S 56.410862°
E 23.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565696716308594 y=0.690650939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565696716308594 × 216)
    floor (0.565696716308594 × 65536)
    floor (37073.5)     		tx = 37073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690650939941406 × 216)
    floor (0.690650939941406 × 65536)
    floor (45262.5)     		ty = 45262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37073 / 45262 ti = "16/37073/45262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37073/45262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37073 ÷ 216
    37073 ÷ 65536     		x = 0.565689086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45262 ÷ 216
    45262 ÷ 65536     		y = 0.690643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565689086914062 × 2 - 1) × π
    0.131378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41273671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.38128662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19784724770596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41273671} λ = 0.41273671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19784724770596))-π/2
    2×atan(0.301843306862491)-π/2
    2×0.293147042563479-π/2
    0.586294085126958-1.57079632675     		φ = -0.98450224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41273671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.648072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98450224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.407823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37073 KachelY 45262 0.41273671 -0.98450224 23.648072 -56.407823
    Oben rechts KachelX + 1 37074 KachelY 45262 0.41283258 -0.98450224 23.653564 -56.407823
    Unten links KachelX 37073 KachelY + 1 45263 0.41273671 -0.98455528 23.648072 -56.410862
    Unten rechts KachelX + 1 37074 KachelY + 1 45263 0.41283258 -0.98455528 23.653564 -56.410862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98450224--0.98455528) × R
    5.30400000000597e-05 × 6371000     		dl = 337.91784000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98450224--0.98455528) × R
    5.30400000000597e-05 × 6371000     		dr = 337.91784000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41273671-0.41283258) × cos(-0.98450224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55327781545697 × 6371000     		do = 337.935323093427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41273671-0.41283258) × cos(-0.98455528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553233632528781 × 6371000     		du = 337.908336701247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98450224)-sin(-0.98455528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55327781545697-0.553233632528781)×R²
    abs(0.41283258-0.41273671)×4.41829281886408e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41829281886408e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41829281886408e-05×40589641000000     		ar = 114189.814874639m²