Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37073 / 44911
↖ ↑ ↗
← S 55.326019°
E 23.648072°		 ← 347.48 m → S 55.326019°
E 23.653564°		 →
↑
347.47 m
↓
↑
347.47 m
↓
S 55.329144°
E 23.648072°		 ← 347.45 m →
120 736 m²		 S 55.329144°
E 23.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565696716308594 y=0.685295104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565696716308594 × 216)
    floor (0.565696716308594 × 65536)
    floor (37073.5)     		tx = 37073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685295104980469 × 216)
    floor (0.685295104980469 × 65536)
    floor (44911.5)     		ty = 44911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37073 / 44911 ti = "16/37073/44911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37073/44911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37073 ÷ 216
    37073 ÷ 65536     		x = 0.565689086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44911 ÷ 216
    44911 ÷ 65536     		y = 0.685287475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565689086914062 × 2 - 1) × π
    0.131378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41273671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685287475585938 × 2 - 1) × π
    -0.370574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16419554417268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41273671} λ = 0.41273671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16419554417268))-π/2
    2×atan(0.312173690993108)-π/2
    2×0.302587562807776-π/2
    0.605175125615553-1.57079632675     		φ = -0.96562120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41273671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.648072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96562120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.326019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37073 KachelY 44911 0.41273671 -0.96562120 23.648072 -55.326019
    Oben rechts KachelX + 1 37074 KachelY 44911 0.41283258 -0.96562120 23.653564 -55.326019
    Unten links KachelX 37073 KachelY + 1 44912 0.41273671 -0.96567574 23.648072 -55.329144
    Unten rechts KachelX + 1 37074 KachelY + 1 44912 0.41283258 -0.96567574 23.653564 -55.329144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96562120--0.96567574) × R
    5.45400000000473e-05 × 6371000     		dl = 347.474340000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96562120--0.96567574) × R
    5.45400000000473e-05 × 6371000     		dr = 347.474340000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41273671-0.41283258) × cos(-0.96562120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568906109692524 × 6371000     		do = 347.480894078464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41273671-0.41283258) × cos(-0.96567574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568861255015174 × 6371000     		du = 347.453497390112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96562120)-sin(-0.96567574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568906109692524-0.568861255015174)×R²
    abs(0.41283258-0.41273671)×4.48546773492708e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48546773492708e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48546773492708e-05×40589641000000     		ar = 120735.934539415m²