Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37073 / 28115
↖ ↑ ↗
← N 24.751820°
E 23.648072°		 ← 554.67 m → N 24.751820°
E 23.653564°		 →
↑
554.66 m
↓
↑
554.66 m
↓
N 24.746832°
E 23.648072°		 ← 554.70 m →
307 662 m²		 N 24.746832°
E 23.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565696716308594 y=0.429008483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565696716308594 × 216)
    floor (0.565696716308594 × 65536)
    floor (37073.5)     		tx = 37073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429008483886719 × 216)
    floor (0.429008483886719 × 65536)
    floor (28115.5)     		ty = 28115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37073 / 28115 ti = "16/37073/28115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37073/28115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37073 ÷ 216
    37073 ÷ 65536     		x = 0.565689086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28115 ÷ 216
    28115 ÷ 65536     		y = 0.429000854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565689086914062 × 2 - 1) × π
    0.131378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41273671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429000854492188 × 2 - 1) × π
    0.141998291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.446100787864243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41273671} λ = 0.41273671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446100787864243))-π/2
    2×atan(1.56220891029897)-π/2
    2×1.00139853999246-π/2
    2.00279707998493-1.57079632675     		φ = 0.43200075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41273671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.648072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43200075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.751820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37073 KachelY 28115 0.41273671 0.43200075 23.648072 24.751820
    Oben rechts KachelX + 1 37074 KachelY 28115 0.41283258 0.43200075 23.653564 24.751820
    Unten links KachelX 37073 KachelY + 1 28116 0.41273671 0.43191369 23.648072 24.746832
    Unten rechts KachelX + 1 37074 KachelY + 1 28116 0.41283258 0.43191369 23.653564 24.746832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43200075-0.43191369) × R
    8.70599999999722e-05 × 6371000     		dl = 554.659259999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43200075-0.43191369) × R
    8.70599999999722e-05 × 6371000     		dr = 554.659259999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41273671-0.41283258) × cos(0.43200075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908129876678781 × 6371000     		do = 554.674622246996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41273671-0.41283258) × cos(0.43191369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908166324264957 × 6371000     		du = 554.696883986878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43200075)-sin(0.43191369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908129876678781-0.908166324264957)×R²
    abs(0.41283258-0.41273671)×3.6447586175492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6447586175492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6447586175492e-05×40589641000000     		ar = 307661.589550512m²