Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37072 / 45264
↖ ↑ ↗
← S 56.413901°
E 23.642578°		 ← 337.92 m → S 56.413901°
E 23.648072°		 →
↑
337.92 m
↓
↑
337.92 m
↓
S 56.416940°
E 23.642578°		 ← 337.89 m →
114 183 m²		 S 56.416940°
E 23.648072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565681457519531 y=0.690681457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565681457519531 × 216)
    floor (0.565681457519531 × 65536)
    floor (37072.5)     		tx = 37072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690681457519531 × 216)
    floor (0.690681457519531 × 65536)
    floor (45264.5)     		ty = 45264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37072 / 45264 ti = "16/37072/45264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37072/45264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37072 ÷ 216
    37072 ÷ 65536     		x = 0.565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45264 ÷ 216
    45264 ÷ 65536     		y = 0.690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565673828125 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41264083} λ = 0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19803899530444))-π/2
    2×atan(0.301785434681886)-π/2
    2×0.293094001953581-π/2
    0.586188003907162-1.57079632675     		φ = -0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37072 KachelY 45264 0.41264083 -0.98460832 23.642578 -56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 37073 KachelY 45264 0.41273671 -0.98460832 23.648072 -56.413901
    Unten links KachelX 37072 KachelY + 1 45265 0.41264083 -0.98466136 23.642578 -56.416940
    Unten rechts KachelX + 1 37073 KachelY + 1 45265 0.41273671 -0.98466136 23.648072 -56.416940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98460832--0.98466136) × R
    5.30400000000597e-05 × 6371000     		dl = 337.91784000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98460832--0.98466136) × R
    5.30400000000597e-05 × 6371000     		dr = 337.91784000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41264083-0.41273671) × cos(-0.98460832) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 337.916593058165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41264083-0.41273671) × cos(-0.98466136) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553145262003389 × 6371000     		du = 337.889601949732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98460832)-sin(-0.98466136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.553145262003389)×R²
    abs(0.41273671-0.41264083)×4.41860408240125e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41860408240125e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41860408240125e-05×40589641000000     		ar = 114183.484864571m²