Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37072 / 29520
↖ ↑ ↗
← N 17.560247°
E 23.642578°		 ← 582.39 m → N 17.560247°
E 23.648072°		 →
↑
582.37 m
↓
↑
582.37 m
↓
N 17.555009°
E 23.642578°		 ← 582.40 m →
339 171 m²		 N 17.555009°
E 23.648072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565681457519531 y=0.450447082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565681457519531 × 216)
    floor (0.565681457519531 × 65536)
    floor (37072.5)     		tx = 37072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450447082519531 × 216)
    floor (0.450447082519531 × 65536)
    floor (29520.5)     		ty = 29520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37072 / 29520 ti = "16/37072/29520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37072/29520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37072 ÷ 216
    37072 ÷ 65536     		x = 0.565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29520 ÷ 216
    29520 ÷ 65536     		y = 0.450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565673828125 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    0.09912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.311398099931885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41264083} λ = 0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311398099931885))-π/2
    2×atan(1.36533265184483)-π/2
    2×0.938640222865364-π/2
    1.87728044573073-1.57079632675     		φ = 0.30648412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30648412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.560247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37072 KachelY 29520 0.41264083 0.30648412 23.642578 17.560247
    Oben rechts KachelX + 1 37073 KachelY 29520 0.41273671 0.30648412 23.648072 17.560247
    Unten links KachelX 37072 KachelY + 1 29521 0.41264083 0.30639271 23.642578 17.555009
    Unten rechts KachelX + 1 37073 KachelY + 1 29521 0.41273671 0.30639271 23.648072 17.555009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30648412-0.30639271) × R
    9.1410000000014e-05 × 6371000     		dl = 582.373110000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30648412-0.30639271) × R
    9.1410000000014e-05 × 6371000     		dr = 582.373110000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41264083-0.41273671) × cos(0.30648412) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.95340023114688 × 6371000     		do = 582.385942228369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41264083-0.41273671) × cos(0.30639271) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.953427806334634 × 6371000     		du = 582.40278657262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30648412)-sin(0.30639271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95340023114688-0.953427806334634)×R²
    abs(0.41273671-0.41264083)×2.75751877536479e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.75751877536479e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.75751877536479e-05×40589641000000     		ar = 339170.817478472m²