Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37071 / 27442
↖ ↑ ↗
← N 28.062286°
E 23.637085°		 ← 538.98 m → N 28.062286°
E 23.642578°		 →
↑
539.05 m
↓
↑
539.05 m
↓
N 28.057438°
E 23.637085°		 ← 539.01 m →
290 545 m²		 N 28.057438°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565666198730469 y=0.418739318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565666198730469 × 216)
    floor (0.565666198730469 × 65536)
    floor (37071.5)     		tx = 37071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418739318847656 × 216)
    floor (0.418739318847656 × 65536)
    floor (27442.5)     		ty = 27442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37071 / 27442 ti = "16/37071/27442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37071/27442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37071 ÷ 216
    37071 ÷ 65536     		x = 0.565658569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27442 ÷ 216
    27442 ÷ 65536     		y = 0.418731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565658569335938 × 2 - 1) × π
    0.131317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41254496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418731689453125 × 2 - 1) × π
    0.16253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.510623854752838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41254496} λ = 0.41254496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510623854752838))-π/2
    2×atan(1.66633041890141)-π/2
    2×1.03028780655752-π/2
    2.06057561311505-1.57079632675     		φ = 0.48977929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41254496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.637085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48977929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.062286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37071 KachelY 27442 0.41254496 0.48977929 23.637085 28.062286
    Oben rechts KachelX + 1 37072 KachelY 27442 0.41264083 0.48977929 23.642578 28.062286
    Unten links KachelX 37071 KachelY + 1 27443 0.41254496 0.48969468 23.637085 28.057438
    Unten rechts KachelX + 1 37072 KachelY + 1 27443 0.41264083 0.48969468 23.642578 28.057438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48977929-0.48969468) × R
    8.4609999999985e-05 × 6371000     		dl = 539.050309999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48977929-0.48969468) × R
    8.4609999999985e-05 × 6371000     		dr = 539.050309999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41254496-0.41264083) × cos(0.48977929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882436708958559 × 6371000     		do = 538.981549630925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41254496-0.41264083) × cos(0.48969468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882476508978398 × 6371000     		du = 539.005858996289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48977929)-sin(0.48969468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882436708958559-0.882476508978398)×R²
    abs(0.41264083-0.41254496)×3.98000198392756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98000198392756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98000198392756e-05×40589641000000     		ar = 290544.72357157m²